同济高数 第8章 第8-4-8题

教材习题

📝 题目

8．求过点 $(3,1,-2)$ 且通过直线 $\displaystyle \frac{x-4}{5}=\frac{y+3}{2}=\frac{z}{1}$ 的平面方程．

💡 答案解析

[AI解答]

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**题目**：求过点 $(3,1,-2)$ 且通过直线 $\frac{x-4}{5}=\frac{y+3}{2}=\frac{z}{1}$ 的平面方程。

**解**：

1. **确定直线的方向向量和一个已知点** 直线的对称式方程为 $$ \frac{x-4}{5}=\frac{y+3}{2}=\frac{z}{1} $$ 因此直线的方向向量为 $$ \vec{s} = (5, 2, 1) $$ 并且直线上有一个已知点 $A(4, -3, 0)$。

2. **确定平面上两个不共线的向量** 已知平面过点 $P(3, 1, -2)$ 和直线，因此直线上的点 $A(4, -3, 0)$ 也在平面上。 向量 $\overrightarrow{PA}$ 为 $$ \overrightarrow{PA} = (4-3,\ -3-1,\ 0-(-2)) = (1, -4, 2) $$ 另一个向量取直线的方向向量 $\vec{s} = (5, 2, 1)$。 这两个向量不平行（因为对应分量不成比例），可作为平面上的两个方向向量。

3. **求平面的法向量** 法向量 $\vec{n}$ 为 $\overrightarrow{PA}$ 与 $\vec{s}$ 的叉积： $$ \vec{n} = \overrightarrow{PA} \times \vec{s} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & -4 & 2 \\ 5 & 2 & 1 \end{vmatrix} $$ 计算： $$ \vec{n} = \mathbf{i}((-4)\cdot 1 - 2\cdot 2) - \mathbf{j}(1\cdot 1 - 2\cdot 5) + \mathbf{k}(1\cdot 2 - (-4)\cdot 5) $$ $$ = \mathbf{i}(-4 - 4) - \mathbf{j}(1 - 10) + \mathbf{k}(2 + 20) $$ $$ = (-8, 9, 22) $$

4. **写出平面方程** 平面过点 $P(3,1,-2)$，法向量为 $(-8, 9, 22)$，则平面方程为 $$ -8(x - 3) + 9(y - 1) + 22(z + 2) = 0 $$ 化简： $$ -8x + 24 + 9y - 9 + 22z + 44 = 0 $$ $$ -8x + 9y + 22z + 59 = 0 $$ 两边乘以 $-1$ 得： $$ 8x - 9y - 22z - 59 = 0 $$

**最终答案**： $$ \boxed{8x - 9y - 22z - 59 = 0} $$

📋 详细解题步骤

步骤 1/4
目标：确定直线的方向向量和一个已知点
由直线对称式方程 \(\frac{x-4}{5}=\frac{y+3}{2}=\frac{z}{1}\) 得方向向量 \(\vec{s}=(5,2,1)\)，且直线上一点 \(A(4,-3,0)\)。
提示：对称式方程分母对应方向向量，分子常数项对应点坐标。
步骤 2/4
目标：确定平面上两个不共线的向量
平面过点 \(P(3,1,-2)\) 和直线，故 \(A\) 在平面上。计算向量 \(\overrightarrow{PA} = (1, -4, 2)\)，取方向向量 \(\vec{s}=(5,2,1)\) 作为另一向量。
提示：验证两向量不平行：对应分量不成比例。
步骤 3/4
目标：求平面的法向量
法向量 \(\vec{n} = \overrightarrow{PA} \times \vec{s} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & -4 & 2 \\ 5 & 2 & 1 \end{vmatrix} = (-8, 9, 22)\)。
公式：叉积公式：\(\vec{a}\times\vec{b}=(a_2b_3-a_3b_2, a_3b_1-a_1b_3, a_1b_2-a_2b_1)\)
提示：计算时注意符号，可用行列式记忆。
步骤 4/4
目标：写出平面方程
利用点法式：\(-8(x-3)+9(y-1)+22(z+2)=0\)，化简得 \(8x-9y-22z-59=0\)。
公式：点法式：\(A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)=0\)
提示：化简后可将点代入验证。

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