同济高数 第8章 第8-4-9题
📝 题目
9．求直线 $\left\{\begin{array}{l}x+y+3 z=0, \\ x-y-z=0\end{array}\right.$ 与平面 $x-y-z+1=0$ 的夹角．
💡 答案解析
[AI解答]
[AI解答] 首先，直线的方向向量可由两平面法向量的叉积得到。 两平面方程分别为： 平面1：$x+y+3z=0$，法向量 $\vec{n}_1=(1,1,3)$ 平面2：$x-y-z=0$，法向量 $\vec{n}_2=(1,-1,-1)$
直线的方向向量为： $$ \vec{s} = \vec{n}_1 \times \vec{n}_2 = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & 1 & 3 \\ 1 & -1 & -1 \end{vmatrix} $$ 计算： $$ \vec{s} = \mathbf{i}\begin{vmatrix}1 & 3\\ -1 & -1\end{vmatrix} - \mathbf{j}\begin{vmatrix}1 & 3\\ 1 & -1\end{vmatrix} + \mathbf{k}\begin{vmatrix}1 & 1\\ 1 & -1\end{vmatrix} $$ $$ = \mathbf{i}(1\cdot(-1)-3\cdot(-1)) - \mathbf{j}(1\cdot(-1)-3\cdot1) + \mathbf{k}(1\cdot(-1)-1\cdot1) $$ $$ = \mathbf{i}(-1+3) - \mathbf{j}(-1-3) + \mathbf{k}(-1-1) $$ $$ = (2, 4, -2) $$ 可化简为 $(1,2,-1)$。
已知平面方程为 $x-y-z+1=0$，其法向量 $\vec{n}=(1,-1,-1)$。 直线与平面的夹角 $\varphi$ 定义为直线方向向量与平面法向量夹角 $\theta$ 的余角，即： $$ \sin\varphi = \frac{|\vec{s}\cdot\vec{n}|}{|\vec{s}|\,|\vec{n}|} $$ 计算点积： $$ \vec{s}\cdot\vec{n} = (1,2,-1)\cdot(1,-1,-1) = 1\cdot1 + 2\cdot(-1) + (-1)\cdot(-1) = 1 - 2 + 1 = 0 $$ 因此： $$ \sin\varphi = 0 \quad\Rightarrow\quad \varphi = 0 $$
所以直线与平面平行（夹角为 $0$）。
难度评级：★★☆☆☆