同济高数 第9章 第9-5-11题
📝 题目
11．求由下列方程组所确定的函数的导数或偏导数： （1）设 $\left\{\begin{array}{l}z=x^{2}+y^{2}, \\ x^{2}+2 y^{2}+3 z^{2}=20,\end{array}\right.$ 求 $\displaystyle \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}, \frac{\mathrm{~d} z}{\mathrm{~d} x}$ ； （2）设 $\left\{\begin{array}{l}x+y+z=0, \\ x^{2}+y^{2}+z^{2}=1,\end{array}\right.$ 求 $\displaystyle \frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{~d} z}, \frac{\mathrm{~d} y}{\mathrm{~d} z}$ ； （3）设 $\left\{\begin{array}{l}u=f(u x, v+y), \\ v=g\left(u-x, v^{2} y\right),\end{array}\right.$ 其中 $f, g$ 具有一阶连续偏导数，求 $\displaystyle \frac{\partial u}{\partial x}, \frac{\partial v}{\partial x}$ ； （4）设 $\left\{\begin{array}{l}x=\mathrm{e}^{u}+u \sin v, \\ y=\mathrm{e}^{u}-u \cos v,\end{array}\right.$ 求 $\displaystyle \frac{\partial u}{\partial x}, \frac{\partial u}{\partial y}, \frac{\partial v}{\partial x}, \frac{\partial v}{\partial y}$ ．
💡 答案解析
[AI解答]
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**（1）** 设方程组 $$ \begin{cases} z = x^2 + y^2, \\ x^2 + 2y^2 + 3z^2 = 20, \end{cases} $$ 求 $\displaystyle\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}, \frac{\mathrm{d} z}{\mathrm{~d} x}$。
**解**：将两式分别对 $x$ 求导，注意 $y, z$ 是 $x$ 的函数。
由第一式： $$ \frac{\mathrm{d} z}{\mathrm{d} x} = 2x + 2y \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}. \tag{1} $$
由第二式： $$ 2x + 4y \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} + 6z \frac{\mathrm{d} z}{\mathrm{d} x} = 0. \tag{2} $$
将 (1) 代入 (2)： $$ 2x + 4y \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} + 6z \left( 2x + 2y \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} \right) = 0, $$ 即 $$ 2x + 4y \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} + 12xz + 12yz \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} = 0. $$
合并含 $\displaystyle\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}$ 的项： $$ (4y + 12yz) \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} = -2x - 12xz, $$ 所以 $$ \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} = \frac{-2x(1 + 6z)}{4y(1 + 3z)} = -\frac{x(1+6z)}{2y(1+3z)}. $$
再由 (1) 得： $$ \frac{\mathrm{d} z}{\mathrm{d} x} = 2x + 2y \cdot \left( -\frac{x(1+6z)}{2y(1+3z)} \right) = 2x - \frac{x(1+6z)}{1+3z}. $$
通分： $$ \frac{\mathrm{d} z}{\mathrm{d} x} = \frac{2x(1+3z) - x(1+6z)}{1+3z} = \frac{2x + 6xz - x - 6xz}{1+3z} = \frac{x}{1+3z}. $$
因此： $$ \boxed{\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} = -\frac{x(1+6z)}{2y(1+3z)}},\quad \boxed{\frac{\mathrm{d} z}{\mathrm{d} x} = \frac{x}{1+3z}}. $$
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**（2）** 设 $$ \begin{cases} x + y + z = 0, \\ x^2 + y^2 + z^2 = 1, \end{cases} $$ 求 $\displaystyle\frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{~d} z}, \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} z}$。
**解**：视 $x, y$ 为 $z$ 的函数，对 $z$ 求导。
第一式： $$ \frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{d} z} + \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} z} + 1 = 0 \quad\Rightarrow\quad \frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{d} z} + \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} z} = -1. \tag{1} $$
第二式： $$ 2x \frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{d} z} + 2y \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} z} + 2z = 0 \quad\Rightarrow\quad x \frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{d} z} + y \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} z} = -z. \tag{2} $$
解线性方程组 (1)(2)，将 (1) 乘以 $y$ 得： $$ y \frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{d} z} + y \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} z} = -y. $$ 减去 (2)： $$ (y - x) \frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{d} z} = -y + z, $$ 所以 $$ \frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{d} z} = \frac{z - y}{y - x}. $$
同理，将 (1) 乘以 $x$ 得： $$ x \frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{d} z} + x \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} z} = -x, $$ 减去 (2)： $$ (x - y) \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} z} = -x + z, $$ 所以 $$ \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} z} = \frac{z - x}{x - y}. $$
因此： $$ \boxed{\frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{d} z} = \frac{z - y}{y - x}},\quad \boxed{\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} z} = \frac{z - x}{x - y}}. $$
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**（3）** 设 $$ \begin{cases} u = f(u x, v + y), \\ v = g(u - x, v^2 y), \end{cases} $$ 其中 $f, g$ 具有一阶连续偏导数，求 $\displaystyle\frac{\partial u}{\partial x}, \frac{\partial v}{\partial x}$。
**解**：令 $F_1 = u - f(u x, v + y) = 0$，$F_2 = v - g(u - x, v^2 y) = 0$，对 $x$ 求偏导，视 $u, v$ 为 $x, y$ 的函数，此处 $y$ 视为常数。
对第一式两边关于 $x$ 求偏导： $$ \frac{\partial u}{\partial x} = f_1 \cdot \left( u + x \frac{\partial u}{\partial x} \right) + f_2 \cdot \frac{\partial v}{\partial x}, $$ 其中 $f_1 = \frac{\partial f}{\partial (ux)}$，$f_2 = \frac{\partial f}{\partial (v+y)}$。
整理得： $$ \frac{\partial u}{\partial x} - f_1 x \frac{\partial u}{\partial x} - f_2 \frac{\partial v}{\partial x} = f_1 u, $$ 即 $$ (1 - x f_1) \frac{\partial u}{\partial x} - f_2 \frac{\partial v}{\partial x} = f_1 u. \tag{1} $$
对第二式关于 $x$ 求偏导： $$ \frac{\partial v}{\partial x} = g_1 \cdot \left( \frac{\partial u}{\partial x} - 1 \right) + g_2 \cdot \left( 2v y \frac{\partial v}{\partial x} \right), $$ 其中 $g_1 = \frac{\partial g}{\partial (u-x)}$，$g_2 = \frac{\partial g}{\partial (v^2 y)}$。
整理得： $$ \frac{\partial v}{\partial x} - g_1 \frac{\partial u}{\partial x} - 2v y g_2 \frac{\partial v}{\partial x} = -g_1, $$ 即 $$ - g_1 \frac{\partial u}{\partial x} + (1 - 2v y g_2) \frac{\partial v}{\partial x} = -g_1. \tag{2} $$
解线性方程组 (1)(2)，系数行列式： $$ \Delta = \begin{vmatrix} 1 - x f_1 & -f_2 \\ -g_1 & 1 - 2v y g_2 \end{vmatrix} = (1 - x f_1)(1 - 2v y g_2) - f_2 g_1. $$
则： $$ \frac{\partial u}{\partial x} = \frac{ \begin{vmatrix} f_1 u & -f_2 \\ -g_1 & 1 - 2v y g_2 \end{vmatrix} }{\Delta} = \frac{ f_1 u (1 - 2v y g_2) - f_2 g_1 }{\Delta}. $$
$$ \frac{\partial v}{\partial x} = \frac{ \begin{vmatrix} 1 - x f_1 & f_1 u \\ -g_1 & -g_1 \end{vmatrix} }{\Delta} = \frac{ -(1 - x f_1)