同济高数 第9章 第9-5-2题
📝 题目
2．设 $\displaystyle \ln \sqrt{x^{2}+y^{2}}=\arctan \frac{y}{x}$ ，求 $\displaystyle \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}$ ．
💡 答案解析
[AI解答]
[AI解答] 我们已知方程 $$ \ln \sqrt{x^{2}+y^{2}} = \arctan \frac{y}{x} $$ 首先化简左边： $$ \ln \sqrt{x^{2}+y^{2}} = \frac{1}{2} \ln (x^{2}+y^{2}) $$ 因此原方程为 $$ \frac{1}{2} \ln (x^{2}+y^{2}) = \arctan \frac{y}{x} $$ 两边同时对 $x$ 求导，注意 $y$ 是 $x$ 的函数。
左边求导： $$ \frac{d}{dx} \left[ \frac{1}{2} \ln (x^{2}+y^{2}) \right] = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{2}+y^{2}} \cdot (2x + 2y \frac{dy}{dx}) = \frac{x + y \frac{dy}{dx}}{x^{2}+y^{2}} $$
右边求导： $$ \frac{d}{dx} \left[ \arctan \frac{y}{x} \right] = \frac{1}{1 + \left( \frac{y}{x} \right)^{2}} \cdot \frac{d}{dx} \left( \frac{y}{x} \right) $$ 而 $$ \frac{d}{dx} \left( \frac{y}{x} \right) = \frac{x \frac{dy}{dx} - y}{x^{2}} $$ 因此右边导数为 $$ \frac{1}{1 + \frac{y^{2}}{x^{2}}} \cdot \frac{x \frac{dy}{dx} - y}{x^{2}} = \frac{x^{2}}{x^{2}+y^{2}} \cdot \frac{x \frac{dy}{dx} - y}{x^{2}} = \frac{x \frac{dy}{dx} - y}{x^{2}+y^{2}} $$
于是得到等式 $$ \frac{x + y \frac{dy}{dx}}{x^{2}+y^{2}} = \frac{x \frac{dy}{dx} - y}{x^{2}+y^{2}} $$ 分母相同且 $x^{2}+y^{2} \neq 0$，两边乘以分母得 $$ x + y \frac{dy}{dx} = x \frac{dy}{dx} - y $$ 移项： $$ x + y = x \frac{dy}{dx} - y \frac{dy}{dx} $$ 即 $$ x + y = (x - y) \frac{dy}{dx} $$ 因此 $$ \frac{dy}{dx} = \frac{x + y}{x - y} $$
难度：★★☆☆☆