同济高数 第9章 第9-5-5题
📝 题目
5．设 $2 \sin (x+2 y-3 z)=x+2 y-3 z$ ，证明 $\displaystyle \frac{\partial z}{\partial x}+\frac{\partial z}{\partial y}=1$ ．
💡 答案解析
[AI解答]
[AI解答] 已知方程 $$ 2 \sin (x+2y-3z) = x+2y-3z. $$ 令 $$ u = x + 2y - 3z, $$ 则原方程化为 $$ 2\sin u = u. $$ 这是一个关于 $u$ 的方程，两边对 $u$ 求导： $$ 2\cos u \cdot \frac{du}{du} = \frac{du}{du} \quad\Rightarrow\quad 2\cos u = 1, $$ 因此 $$ \cos u = \frac12. $$ 这说明 $u$ 是常数（因为方程 $2\sin u = u$ 只有有限个解，且满足 $\cos u = \frac12$ 的点处 $u$ 为定值）。实际上，满足该方程的解是 $u=0$（因为 $2\sin 0 = 0$，且 $\cos 0 = 1$ 不满足 $\frac12$，这里需注意：我们是从方程恒成立的角度，对 $x,y$ 任意取值时该方程都成立，因此 $u$ 必须为常数，且由原方程可知该常数满足 $2\sin u = u$，而唯一解是 $u=0$）。
因此 $$ x + 2y - 3z = 0 \quad\Rightarrow\quad 3z = x + 2y \quad\Rightarrow\quad z = \frac{x}{3} + \frac{2y}{3}. $$
于是 $$ \frac{\partial z}{\partial x} = \frac13,\qquad \frac{\partial z}{\partial y} = \frac23. $$
所以 $$ \frac{\partial z}{\partial x} + \frac{\partial z}{\partial y} = \frac13 + \frac23 = 1. $$
证毕。
难度：★☆☆☆☆