同济高数 第9章 第9-5-*10题

[AI解答]

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已知隐函数方程： $$ z^{3} - 3xyz = a^{3} $$ 其中 $a$ 为常数。我们要求二阶混合偏导数 $\frac{\partial^{2} z}{\partial x \partial y}$。

**第一步：对 $x$ 求偏导**

将方程两边对 $x$ 求偏导，注意 $z = z(x,y)$： $$ \frac{\partial}{\partial x}(z^{3}) - 3\frac{\partial}{\partial x}(xyz) = 0 $$ 即： $$ 3z^{2} \frac{\partial z}{\partial x} - 3\left( yz + xy\frac{\partial z}{\partial x} \right) = 0 $$ 两边除以 3： $$ z^{2} \frac{\partial z}{\partial x} - yz - xy \frac{\partial z}{\partial x} = 0 $$ 整理含 $\frac{\partial z}{\partial x}$ 的项： $$ (z^{2} - xy) \frac{\partial z}{\partial x} = yz $$ 因此： $$ \frac{\partial z}{\partial x} = \frac{yz}{z^{2} - xy} $$

**第二步：对 $y$ 求偏导**

类似地，将原方程对 $y$ 求偏导： $$ 3z^{2} \frac{\partial z}{\partial y} - 3\left( xz + xy\frac{\partial z}{\partial y} \right) = 0 $$ 即： $$ z^{2} \frac{\partial z}{\partial y} - xz - xy\frac{\partial z}{\partial y} = 0 $$ 整理得： $$ (z^{2} - xy) \frac{\partial z}{\partial y} = xz $$ 因此： $$ \frac{\partial z}{\partial y} = \frac{xz}{z^{2} - xy} $$

**第三步：求混合偏导 $\frac{\partial^{2} z}{\partial x \partial y}$**

由 $\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{yz}{z^{2} - xy}$，再对 $y$ 求偏导（注意 $z$ 是 $x,y$ 的函数）： $$ \frac{\partial^{2} z}{\partial x \partial y} = \frac{\partial}{\partial y} \left( \frac{yz}{z^{2} - xy} \right) $$ 使用商法则： $$ = \frac{ \left( \frac{\partial}{\partial y}(yz) \right)(z^{2} - xy) - (yz) \cdot \frac{\partial}{\partial y}(z^{2} - xy) }{(z^{2} - xy)^{2}} $$

先计算各部分： $$ \frac{\partial}{\partial y}(yz) = z + y \frac{\partial z}{\partial y} $$ $$ \frac{\partial}{\partial y}(z^{2} - xy) = 2z \frac{\partial z}{\partial y} - x $$

代入： $$ \frac{\partial^{2} z}{\partial x \partial y} = \frac{ \left( z + y \frac{\partial z}{\partial y} \right)(z^{2} - xy) - yz \left( 2z \frac{\partial z}{\partial y} - x \right) }{(z^{2} - xy)^{2}} $$

将 $\frac{\partial z}{\partial y} = \frac{xz}{z^{2} - xy}$ 代入：

第一项： $$ \left( z + y \cdot \frac{xz}{z^{2} - xy} \right)(z^{2} - xy) = z(z^{2} - xy) + \frac{xyz}{z^{2} - xy} \cdot (z^{2} - xy) = z(z^{2} - xy) + xyz $$ 化简： $$ z^{3} - xyz + xyz = z^{3} $$

第二项： $$ yz \left( 2z \cdot \frac{xz}{z^{2} - xy} - x \right) = yz \left( \frac{2xz^{2}}{z^{2} - xy} - x \right) $$ 提取公因子 $x$： $$ = xyz \left( \frac{2z^{2}}{z^{2} - xy} - 1 \right) = xyz \cdot \frac{2z^{2} - (z^{2} - xy)}{z^{2} - xy} = xyz \cdot \frac{z^{2} + xy}{z^{2} - xy} $$

因此分子为： $$ z^{3} - xyz \cdot \frac{z^{2} + xy}{z^{2} - xy} $$ 通分： $$ \frac{z^{3}(z^{2} - xy) - xyz(z^{2} + xy)}{z^{2} - xy} = \frac{z^{3}(z^{2} - xy) - xyz^{3} - x^{2}y^{2}z}{z^{2} - xy} $$ 化简： $$ \frac{z^{3}(z^{2} - xy - xy) - x^{2}y^{2}z}{z^{2} - xy} = \frac{z^{3}(z^{2} - 2xy) - x^{2}y^{2}z}{z^{2} - xy} $$ 提取公因子 $z$： $$ = \frac{z\left[ z^{2}(z^{2} - 2xy) - x^{2}y^{2} \right]}{z^{2} - xy} = \frac{z(z^{4} - 2xyz^{2} - x^{2}y^{2})}{z^{2} - xy} $$

注意 $z^{4} - 2xyz^{2} - x^{2}y^{2} = (z^{2} - xy)^{2} - 2x^{2}y^{2}$？实际上： $$ (z^{2} - xy)^{2} = z^{4} - 2xyz^{2} + x^{2}y^{2} $$ 因此： $$ z^{4} - 2xyz^{2} - x^{2}y^{2} = (z^{2} - xy)^{2} - 2x^{2}y^{2} $$ 这个形式并不简化，我们保留原样。

于是： $$ \frac{\partial^{2} z}{\partial x \partial y} = \frac{ \frac{z(z^{4} - 2xyz^{2} - x^{2}y^{2})}{z^{2} - xy} }{(z^{2} - xy)^{2}} = \frac{z(z^{4} - 2xyz^{2} - x^{2}y^{2})}{(z^{2} - xy)^{3}} $$

**第四步：利用原方程化简**

由原方程 $z^{3} - 3xyz = a^{3}$，可得： $$ z^{3} = a^{3} + 3xyz $$ 但这里分子是四次项，我们尝试将 $z^{4}$ 表示为： $$ z^{4} = z \cdot z^{3} = z(a^{3} + 3xyz) = a^{3}z + 3xyz^{2} $$ 代入分子： $$ z^{4} - 2xyz^{2} - x^{2}y^{2} = a^{3}z + 3xyz^{2} - 2xyz^{2} - x^{2}y^{2} = a^{3}z + xyz^{2} - x^{2}y^{2} $$ 因此分子变为： $$ z \cdot (a^{3}z + xyz^{2} - x^{2}y^{2}) = a^{3}z^{2} + xyz^{3} - x^{2}y^{2}z $$ 再用 $z^{3} = a^{3} + 3xyz$ 替换： $$ xyz^{3} = xy(a^{3} + 3xyz) = a^{3}xy + 3x^{2}y^{2}z $$ 于是分子： $$ a^{3}z^{2} + a^{3}xy + 3x^{2}y^{2}z - x^{2}y^{2}z = a^{3}(z^{2} + xy) + 2x^{2}y^{2}z $$ 所以： $$ \frac{\partial^{2} z}{\partial x \partial y} = \frac{a^{3}(z^{2} + xy) + 2x^{2}y^{2}z}{(z^{2} - xy)^{3}} $$

**最终答案**： $$ \boxed{\displaystyle \frac{\partial^{2} z}{\partial x \partial y} = \frac{a^{3}(z^{2} + xy) + 2x^{2}y^{2}z}{(z^{2} - xy)^{3}}} $$

难度：★★★★☆