同济高数 第9章 第9-5-*9题

教材习题

📝 题目

＊9．设 $\mathrm{e}^{z}-x y z=0$ ，求 $\displaystyle \frac{\partial^{2} z}{\partial x^{2}}$ ．

💡 答案解析

[AI解答]

[AI解答] 已知隐函数方程 $$ \mathrm{e}^{z} - x y z = 0, $$ 其中 $z = z(x,y)$ 由该方程确定。我们要求 $\displaystyle{\frac{\partial^{2} z}{\partial x^{2}}}$。

**第一步：对 $x$ 求一阶偏导** 将方程两边对 $x$ 求偏导，注意 $y$ 视为常数，$z$ 是 $x,y$ 的函数： $$ \mathrm{e}^{z} \frac{\partial z}{\partial x} - y z - x y \frac{\partial z}{\partial x} = 0. $$ 整理得 $$ (\mathrm{e}^{z} - x y) \frac{\partial z}{\partial x} = y z. $$ 因此 $$ \frac{\partial z}{\partial x} = \frac{y z}{\mathrm{e}^{z} - x y}. $$

**第二步：对 $x$ 求二阶偏导** 对 $\displaystyle{\frac{\partial z}{\partial x}}$ 再对 $x$ 求偏导，使用商法则： 记 $$ u = y z, \quad v = \mathrm{e}^{z} - x y, $$ 则 $$ \frac{\partial^{2} z}{\partial x^{2}} = \frac{ u_x v - u v_x }{v^{2}}. $$ 计算 $$ u_x = y \frac{\partial z}{\partial x} = y \cdot \frac{y z}{\mathrm{e}^{z} - x y} = \frac{y^{2} z}{\mathrm{e}^{z} - x y}. $$ $$ v_x = \mathrm{e}^{z} \frac{\partial z}{\partial x} - y = \mathrm{e}^{z} \cdot \frac{y z}{\mathrm{e}^{z} - x y} - y. $$ 代入商法则： 分子为 $$ u_x v - u v_x = \frac{y^{2} z}{\mathrm{e}^{z} - x y} \cdot (\mathrm{e}^{z} - x y) - y z \left( \frac{y z \mathrm{e}^{z}}{\mathrm{e}^{z} - x y} - y \right). $$ 第一项化简为 $$ y^{2} z. $$ 第二项展开： $$ - y z \cdot \frac{y z \mathrm{e}^{z}}{\mathrm{e}^{z} - x y} + y z \cdot y = - \frac{y^{2} z^{2} \mathrm{e}^{z}}{\mathrm{e}^{z} - x y} + y^{2} z. $$ 所以分子为 $$ y^{2} z + y^{2} z - \frac{y^{2} z^{2} \mathrm{e}^{z}}{\mathrm{e}^{z} - x y} = 2 y^{2} z - \frac{y^{2} z^{2} \mathrm{e}^{z}}{\mathrm{e}^{z} - x y}. $$ 通分： $$ \frac{2 y^{2} z (\mathrm{e}^{z} - x y) - y^{2} z^{2} \mathrm{e}^{z}}{\mathrm{e}^{z} - x y} = \frac{y^{2} z \bigl[ 2(\mathrm{e}^{z} - x y) - z \mathrm{e}^{z} \bigr]}{\mathrm{e}^{z} - x y}. $$ 因此 $$ \frac{\partial^{2} z}{\partial x^{2}} = \frac{ \displaystyle{\frac{y^{2} z \bigl[ 2(\mathrm{e}^{z} - x y) - z \mathrm{e}^{z} \bigr]}{\mathrm{e}^{z} - x y}} }{ (\mathrm{e}^{z} - x y)^{2} } = \frac{y^{2} z \bigl[ 2(\mathrm{e}^{z} - x y) - z \mathrm{e}^{z} \bigr]}{(\mathrm{e}^{z} - x y)^{3}}. $$

**第三步：利用原方程化简** 由原方程 $\mathrm{e}^{z} = x y z$，代入上式： $$ \mathrm{e}^{z} - x y = x y z - x y = x y (z - 1). $$ 并且 $2(\mathrm{e}^{z} - x y) - z \mathrm{e}^{z} = 2 x y (z-1) - z (x y z) = x y [2(z-1) - z^{2}]$。 于是 $$ \frac{\partial^{2} z}{\partial x^{2}} = \frac{y^{2} z \cdot x y [2(z-1) - z^{2}]}{[x y (z-1)]^{3}} = \frac{x y^{3} z (2z - 2 - z^{2})}{x^{3} y^{3} (z-1)^{3}}. $$ 约去 $y^{3}$，并注意 $x$ 约去一个因子： $$ \frac{\partial^{2} z}{\partial x^{2}} = \frac{z ( -z^{2} + 2z - 2)}{x^{2} (z-1)^{3}}. $$ 即 $$ \boxed{\displaystyle{\frac{\partial^{2} z}{\partial x^{2}} = -\frac{z(z^{2} - 2z + 2)}{x^{2}(z-1)^{3}}}}. $$

难度：★★★★☆ （涉及隐函数求导、商法则、代入化简，过程较繁琐，需细心处理符号与代数变形）

📋 详细解题步骤

步骤 1/3
目标：对原方程两边关于x求一阶偏导
将方程 e^z - xyz = 0 两边对 x 求偏导，视 y 为常数，z 为 x,y 的函数，得到 e^z * ∂z/∂x - yz - xy * ∂z/∂x = 0，整理得 (e^z - xy) ∂z/∂x = yz，因此 ∂z/∂x = yz/(e^z - xy)。
公式：∂z/∂x = yz/(e^z - xy)
提示：注意隐函数求导时，z 是 x 的函数，对 x 求导时 e^z 的导数为 e^z * ∂z/∂x，xyz 的导数为 yz + xy * ∂z/∂x。
步骤 2/3
目标：对一阶偏导结果再次对x求偏导，得到二阶偏导表达式
利用商法则，设 u = yz，v = e^z - xy，则 ∂²z/∂x² = (u_x v - u v_x)/v²。计算 u_x = y * ∂z/∂x = y²z/(e^z - xy)；v_x = e^z * ∂z/∂x - y = e^z * yz/(e^z - xy) - y。代入商法则，分子化简后得到 y²z[2(e^z - xy) - z e^z]/(e^z - xy)，分母为 (e^z - xy)²，因此 ∂²z/∂x² = y²z[2(e^z - xy) - z e^z]/(e^z - xy)³。
公式：∂²z/∂x² = y²z[2(e^z - xy) - z e^z]/(e^z - xy)³
提示：商法则求导时，注意分子分母的导数要仔细计算，避免符号错误。
步骤 3/3
目标：利用原方程化简结果
由原方程 e^z = xyz，代入得 e^z - xy = xyz - xy = xy(z-1)；且 2(e^z - xy) - z e^z = 2xy(z-1) - z(xyz) = xy[2(z-1) - z²]。代入二阶偏导表达式，化简得 ∂²z/∂x² = [y²z * xy(2z-2-z²)] / [x³y³(z-1)³] = z( -z²+2z-2) / [x²(z-1)³] = -z(z²-2z+2)/[x²(z-1)³]。
公式：∂²z/∂x² = -z(z²-2z+2)/[x²(z-1)³]
提示：代入化简时，注意约去公因子，并检查符号。

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