同济高数 第9章 第9-6-1题
📝 题目
1．设 $\boldsymbol{f}(t)=f_{1}(t) \boldsymbol{i}+f_{2}(t) \boldsymbol{j}+f_{3}(t) \boldsymbol{k}, \boldsymbol{g}(t)=g_{1}(t) \boldsymbol{i}+g_{2}(t) \boldsymbol{j}+g_{3}(t) \boldsymbol{k}, \displaystyle{\lim} _{t \rightarrow t_{0}} \boldsymbol{f}(t)=\boldsymbol{u}, \displaystyle{\lim} _{t \rightarrow t_{0}} \boldsymbol{g}(t)=\boldsymbol{v}$ ，证明
$$ \displaystyle{\lim} _{t \rightarrow t_{0}}[f(t) \times g(t)]=u \times v . $$
💡 答案解析
[AI解答]
[AI解答] 我们已知向量函数 $\boldsymbol{f}(t)$ 和 $\boldsymbol{g}(t)$ 在 $t \to t_0$ 时分别趋于常向量 $\boldsymbol{u}$ 和 $\boldsymbol{v}$，要证明它们的叉积的极限等于极限的叉积，即：
$$ \displaystyle{\lim_{t \to t_0}} [\boldsymbol{f}(t) \times \boldsymbol{g}(t)] = \boldsymbol{u} \times \boldsymbol{v}. $$
**证明步骤：**
1. 将向量函数写成分量形式： $$ \boldsymbol{f}(t) = (f_1(t), f_2(t), f_3(t)), \quad \boldsymbol{g}(t) = (g_1(t), g_2(t), g_3(t)), $$ 且 $$ \boldsymbol{u} = (u_1, u_2, u_3), \quad \boldsymbol{v} = (v_1, v_2, v_3). $$
2. 由极限条件： $$ \displaystyle{\lim_{t \to t_0}} f_i(t) = u_i, \quad \displaystyle{\lim_{t \to t_0}} g_i(t) = v_i, \quad i = 1,2,3. $$
3. 计算叉积： $$ \boldsymbol{f}(t) \times \boldsymbol{g}(t) = \begin{vmatrix} \boldsymbol{i} & \boldsymbol{j} & \boldsymbol{k} \\ f_1(t) & f_2(t) & f_3(t) \\ g_1(t) & g_2(t) & g_3(t) \end{vmatrix} $$ 展开得： $$ \boldsymbol{f}(t) \times \boldsymbol{g}(t) = \big( f_2(t)g_3(t) - f_3(t)g_2(t) \big) \boldsymbol{i} + \big( f_3(t)g_1(t) - f_1(t)g_3(t) \big) \boldsymbol{j} + \big( f_1(t)g_2(t) - f_2(t)g_1(t) \big) \boldsymbol{k}. $$
4. 取极限 $t \to t_0$，由于极限的四则运算法则（和、差、积的极限等于极限的和、差、积），可得： $$ \displaystyle{\lim_{t \to t_0}} \big( f_2(t)g_3(t) - f_3(t)g_2(t) \big) = u_2 v_3 - u_3 v_2, $$ 类似地： $$ \displaystyle{\lim_{t \to t_0}} \big( f_3(t)g_1(t) - f_1(t)g_3(t) \big) = u_3 v_1 - u_1 v_3, $$ $$ \displaystyle{\lim_{t \to t_0}} \big( f_1(t)g_2(t) - f_2(t)g_1(t) \big) = u_1 v_2 - u_2 v_1. $$
5. 因此： $$ \displaystyle{\lim_{t \to t_0}} [\boldsymbol{f}(t) \times \boldsymbol{g}(t)] = (u_2 v_3 - u_3 v_2) \boldsymbol{i} + (u_3 v_1 - u_1 v_3) \boldsymbol{j} + (u_1 v_2 - u_2 v_1) \boldsymbol{k} = \boldsymbol{u} \times \boldsymbol{v}. $$
证毕。
难度：★☆☆☆☆ （此题仅需极限运算法则与叉积定义，属于基础证明题。）