同济高数 第9章 第9-6-10题

教材习题

📝 题目

10．求椭球面 $x^{2}+2 y^{2}+z^{2}=1$ 上平行于平面 $x-y+2 z=0$ 的切平面方程．

💡 答案解析

[AI解答]

[AI解答] 已知椭球面方程为 $$ x^{2}+2y^{2}+z^{2}=1 $$ 设切点为 $(x_0, y_0, z_0)$，则椭球面在该点的法向量为梯度 $$ \nabla F = (2x_0,\; 4y_0,\; 2z_0) $$ 即法向量可取为 $$ \mathbf{n} = (x_0,\; 2y_0,\; z_0) $$ 所求切平面平行于平面 $$ x - y + 2z = 0 $$ 该平面的法向量为 $$ \mathbf{n}_0 = (1,\; -1,\; 2) $$ 两平面平行等价于它们的法向量共线，即存在常数 $\lambda$ 使得 $$ (x_0,\; 2y_0,\; z_0) = \lambda (1,\; -1,\; 2) $$ 于是 $$ x_0 = \lambda,\quad 2y_0 = -\lambda \Rightarrow y_0 = -\frac{\lambda}{2},\quad z_0 = 2\lambda $$ 代入椭球面方程： $$ \lambda^{2} + 2\left(-\frac{\lambda}{2}\right)^{2} + (2\lambda)^{2} = 1 $$ 计算得 $$ \lambda^{2} + 2\cdot\frac{\lambda^{2}}{4} + 4\lambda^{2} = \lambda^{2} + \frac{\lambda^{2}}{2} + 4\lambda^{2} = \frac{11}{2}\lambda^{2} = 1 $$ 所以 $$ \lambda^{2} = \frac{2}{11},\quad \lambda = \pm\sqrt{\frac{2}{11}} $$ 因此切点为 $$ \left(\sqrt{\frac{2}{11}},\; -\frac{1}{2}\sqrt{\frac{2}{11}},\; 2\sqrt{\frac{2}{11}}\right),\quad \left(-\sqrt{\frac{2}{11}},\; \frac{1}{2}\sqrt{\frac{2}{11}},\; -2\sqrt{\frac{2}{11}}\right) $$ 切平面方程为 $$ x_0(x - x_0) + 2y_0(y - y_0) + z_0(z - z_0) = 0 $$ 利用法向量共线关系，可简化为 $$ 1\cdot(x - x_0) - 1\cdot(y - y_0) + 2\cdot(z - z_0) = 0 $$ 即 $$ x - y + 2z = x_0 - y_0 + 2z_0 $$ 代入 $x_0 = \lambda,\; y_0 = -\frac{\lambda}{2},\; z_0 = 2\lambda$，得 $$ x_0 - y_0 + 2z_0 = \lambda - \left(-\frac{\lambda}{2}\right) + 4\lambda = \lambda + \frac{\lambda}{2} + 4\lambda = \frac{11}{2}\lambda $$ 当 $\lambda = \sqrt{\frac{2}{11}}$ 时，右端为 $$ \frac{11}{2}\sqrt{\frac{2}{11}} = \sqrt{\frac{11}{2}} $$ 当 $\lambda = -\sqrt{\frac{2}{11}}$ 时，右端为 $$ -\sqrt{\frac{11}{2}} $$ 因此两个切平面方程为 $$ x - y + 2z = \pm\sqrt{\frac{11}{2}} $$

难度：★★☆☆☆

📋 详细解题步骤

步骤 1/6
目标：设切点并求法向量
设椭球面 $x^2+2y^2+z^2=1$ 上的切点为 $(x_0, y_0, z_0)$，则椭球面在该点的法向量为梯度 $\nabla F = (2x_0, 4y_0, 2z_0)$，可取为 $\mathbf{n} = (x_0, 2y_0, z_0)$。
公式：$\mathbf{n} = (x_0, 2y_0, z_0)$
提示：梯度向量是函数 $F(x,y,z)=x^2+2y^2+z^2$ 的偏导数。
步骤 2/6
目标：利用平行条件建立关系
所求切平面平行于平面 $x-y+2z=0$，该平面的法向量为 $\mathbf{n}_0 = (1, -1, 2)$。两平面平行等价于法向量共线，即存在常数 $\lambda$ 使得 $(x_0, 2y_0, z_0) = \lambda (1, -1, 2)$。
公式：$(x_0, 2y_0, z_0) = \lambda (1, -1, 2)$
提示：共线意味着对应分量成比例。
步骤 3/6
目标：用λ表示切点坐标
由共线条件得 $x_0 = \lambda$，$2y_0 = -\lambda \Rightarrow y_0 = -\frac{\lambda}{2}$，$z_0 = 2\lambda$。
公式：$x_0 = \lambda, y_0 = -\frac{\lambda}{2}, z_0 = 2\lambda$
步骤 4/6
目标：代入椭球面方程求λ
将切点坐标代入椭球面方程 $x_0^2 + 2y_0^2 + z_0^2 = 1$，得 $\lambda^2 + 2\left(-\frac{\lambda}{2}\right)^2 + (2\lambda)^2 = 1$，化简为 $\frac{11}{2}\lambda^2 = 1$，解得 $\lambda = \pm \sqrt{\frac{2}{11}}$。
公式：$\frac{11}{2}\lambda^2 = 1$
提示：注意平方项的计算。
步骤 5/6
目标：写出切点坐标
代入λ得两个切点：$\left(\sqrt{\frac{2}{11}}, -\frac{1}{2}\sqrt{\frac{2}{11}}, 2\sqrt{\frac{2}{11}}\right)$ 和 $\left(-\sqrt{\frac{2}{11}}, \frac{1}{2}\sqrt{\frac{2}{11}}, -2\sqrt{\frac{2}{11}}\right)$。
步骤 6/6
目标：求切平面方程
切平面方程可用点法式：$x_0(x-x_0)+2y_0(y-y_0)+z_0(z-z_0)=0$。利用法向量共线，可简化为 $1\cdot(x-x_0)-1\cdot(y-y_0)+2\cdot(z-z_0)=0$，即 $x-y+2z = x_0 - y_0 + 2z_0$。代入 $x_0, y_0, z_0$ 得 $x_0 - y_0 + 2z_0 = \frac{11}{2}\lambda$。当 $\lambda = \sqrt{\frac{2}{11}}$ 时，右端为 $\sqrt{\frac{11}{2}}$；当 $\lambda = -\sqrt{\frac{2}{11}}$ 时，右端为 $-\sqrt{\frac{11}{2}}$。因此两个切平面方程为 $x-y+2z = \pm \sqrt{\frac{11}{2}}$。
公式：$x-y+2z = \pm \sqrt{\frac{11}{2}}$
提示：利用平行关系简化方程。

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