同济高数 第9章 第9-6-5题
📝 题目
5．求曲线 $y^{2}=2 m x, z^{2}=m-x$ 在点 $\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right)$ 处的切线及法平面方程．
💡 答案解析
[AI解答]
[AI解答] 已知空间曲线由方程组 $$ \begin{cases} y^{2}=2 m x, \$$2mm] z^{2}=m-x \end{cases} $$ 给出，求其在点 $(x_{0}, y_{0}, z_{0})$ 处的切线与法平面方程。
**第一步：将曲线视为参数形式** 由两个方程联立，可将 $x$ 作为参数，则 $$ y = \pm\sqrt{2mx},\quad z = \pm\sqrt{m-x}. $$ 在给定点处，取对应符号。设参数为 $t=x$，则曲线参数方程为 $$ \mathbf{r}(x) = \bigl(x,\; y(x),\; z(x)\bigr) = \bigl(x,\; \sqrt{2mx},\; \sqrt{m-x}\bigr) $$ （符号由具体点决定，不影响方向导数计算）。
**第二步：求切向量** 对 $x$ 求导： $$ \mathbf{r}'(x) = \left(1,\; \frac{d}{dx}\sqrt{2mx},\; \frac{d}{dx}\sqrt{m-x}\right). $$ 计算： $$ \frac{d}{dx}\sqrt{2mx} = \frac{2m}{2\sqrt{2mx}} = \frac{m}{\sqrt{2mx}} = \frac{m}{y}, $$ $$ \frac{d}{dx}\sqrt{m-x} = \frac{-1}{2\sqrt{m-x}} = -\frac{1}{2z}. $$ 因此切向量为 $$ \mathbf{T} = \left(1,\; \frac{m}{y_{0}},\; -\frac{1}{2z_{0}}\right). $$
**第三步：切线方程** 切线过点 $(x_{0},y_{0},z_{0})$，方向为 $\mathbf{T}$，故对称式方程为 $$ \frac{x - x_{0}}{1} = \frac{y - y_{0}}{\displaystyle\frac{m}{y_{0}}} = \frac{z - z_{0}}{\displaystyle -\frac{1}{2z_{0}}}. $$ 可化简为 $$ \frac{x - x_{0}}{1} = \frac{y_{0}(y - y_{0})}{m} = -2z_{0}(z - z_{0}). $$
**第四步：法平面方程** 法平面过点 $(x_{0},y_{0},z_{0})$，法向量即为切向量 $\mathbf{T}$，故方程为 $$ 1\cdot (x - x_{0}) + \frac{m}{y_{0}}(y - y_{0}) - \frac{1}{2z_{0}}(z - z_{0}) = 0. $$ 整理得 $$ x - x_{0} + \frac{m}{y_{0}}(y - y_{0}) - \frac{1}{2z_{0}}(z - z_{0}) = 0. $$
**最终答案** 切线方程： $$ \boxed{\frac{x - x_{0}}{1} = \frac{y_{0}(y - y_{0})}{m} = -2z_{0}(z - z_{0})} $$ 法平面方程： $$ \boxed{x - x_{0} + \frac{m}{y_{0}}(y - y_{0}) - \frac{1}{2z_{0}}(z - z_{0}) = 0} $$
难度：★★☆☆☆