同济高数 第9章 第9-6-6题
📝 题目
6．求曲线 $\left\{\begin{array}{l}x^{2}+y^{2}+z^{2}-3 x=0, \\ 2 x-3 y+5 z-4=0\end{array}\right.$ 在点 $(1,1,1)$ 处的切线及法平面方程．
💡 答案解析
[AI解答]
[AI解答] 我们要求曲线在点 $(1,1,1)$ 处的切线与法平面方程。曲线由两个方程联立给出，第一个是球面，第二个是平面，因此交线是一个圆（或一般空间曲线）。 曲线方程： $$ \begin{cases} F(x,y,z) = x^{2}+y^{2}+z^{2}-3x = 0,\\ G(x,y,z) = 2x-3y+5z-4 = 0. \end{cases} $$
**第一步：求切向量** 空间曲线的切向量方向与两个曲面的法向量都垂直，因此切向量 $\mathbf{T}$ 平行于 $\nabla F \times \nabla G$。
计算梯度： $$ \nabla F = \left(2x-3,\; 2y,\; 2z\right), $$ 在点 $(1,1,1)$ 处： $$ \nabla F(1,1,1) = (2\cdot1-3,\; 2\cdot1,\; 2\cdot1) = (-1,\;2,\;2). $$
$$ \nabla G = (2,\; -3,\; 5), $$ 在点 $(1,1,1)$ 处不变。
**第二步：计算叉积** $$ \mathbf{T} = \nabla F \times \nabla G = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ -1 & 2 & 2 \\ 2 & -3 & 5 \end{vmatrix}. $$
计算： $$ \mathbf{i} \cdot (2\cdot5 - 2\cdot(-3)) = \mathbf{i} \cdot (10 + 6) = 16\mathbf{i}, $$ $$ \mathbf{j} \cdot ((-1)\cdot5 - 2\cdot2) = \mathbf{j} \cdot (-5 - 4) = -9\mathbf{j}, $$ 注意叉积中第二项是负号：实际为 $-\mathbf{j} \cdot ( (-1)\cdot5 - 2\cdot2 )$，但按行列式展开： $$ = \mathbf{i}(2\cdot5 - 2\cdot(-3)) - \mathbf{j}((-1)\cdot5 - 2\cdot2) + \mathbf{k}((-1)\cdot(-3) - 2\cdot2) $$ $$ = \mathbf{i}(10+6) - \mathbf{j}(-5-4) + \mathbf{k}(3 - 4) $$ $$ = 16\mathbf{i} - \mathbf{j}(-9) + \mathbf{k}(-1) = 16\mathbf{i} + 9\mathbf{j} - \mathbf{k}. $$
所以切向量可取为： $$ \mathbf{T} = (16,\; 9,\; -1). $$
**第三步：切线方程** 过点 $(1,1,1)$，方向为 $(16,9,-1)$，切线方程： $$ \frac{x-1}{16} = \frac{y-1}{9} = \frac{z-1}{-1}. $$
**第四步：法平面方程** 法平面以切向量为法向量，过点 $(1,1,1)$： $$ 16(x-1) + 9(y-1) + (-1)(z-1) = 0, $$ 化简： $$ 16x - 16 + 9y - 9 - z + 1 = 0, $$ $$ 16x + 9y - z - 24 = 0. $$
**最终答案** 切线方程： $$ \displaystyle{\frac{x-1}{16} = \frac{y-1}{9} = \frac{z-1}{-1}}. $$ 法平面方程： $$ \displaystyle{16x + 9y - z - 24 = 0}. $$
难度：★★☆☆☆ （属于空间解析几何与微分几何的基本运算，计算量小，步骤固定，但需注意叉积符号。）