同济高数 第9章 第9-7-1题
📝 题目
1．求函数 $z=x^{2}+y^{2}$ 在点 $(1,2)$ 处沿从点 $(1,2)$ 到点 $(2,2+\sqrt{3})$ 的方向的方向导数．
💡 答案解析
[AI解答]
[AI解答] **第一步：确定方向向量与方向余弦** 给定两点：起点 $P_0(1,2)$，终点 $P_1(2, 2+\sqrt{3})$。 方向向量为： $$ \vec{l} = (2-1,\; 2+\sqrt{3}-2) = (1, \sqrt{3}) $$ 其模长为： $$ |\vec{l}| = \sqrt{1^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{1+3} = 2 $$ 因此方向余弦为： $$ \cos\alpha = \frac{1}{2},\quad \cos\beta = \frac{\sqrt{3}}{2} $$
**第二步：计算偏导数** 函数 $z = x^2 + y^2$，求偏导： $$ \frac{\partial z}{\partial x} = 2x,\quad \frac{\partial z}{\partial y} = 2y $$ 在点 $(1,2)$ 处： $$ \left.\frac{\partial z}{\partial x}\right|_{(1,2)} = 2\cdot 1 = 2,\quad \left.\frac{\partial z}{\partial y}\right|_{(1,2)} = 2\cdot 2 = 4 $$
**第三步：方向导数公式** 方向导数： $$ \left.\frac{\partial z}{\partial l}\right|_{(1,2)} = \frac{\partial z}{\partial x}\cos\alpha + \frac{\partial z}{\partial y}\cos\beta $$ 代入数值： $$ = 2 \cdot \frac{1}{2} + 4 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 1 + 2\sqrt{3} $$
**最终答案**： $$ \boxed{1 + 2\sqrt{3}} $$
难度：★☆☆☆☆