同济高数 第9章 第9-7-10题
📝 题目
10．求函数 $u=x y^{2} z$ 在点 $P_{0}(1,-1,2)$ 处变化最快的方向，并求沿这个方向的方向导数．
💡 答案解析
[AI解答]
[AI解答] 我们要求函数 $ u = x y^{2} z $ 在点 $ P_0(1, -1, 2) $ 处变化最快的方向，并求该方向的方向导数。
**第一步：计算梯度** 梯度方向是函数变化率最大的方向，其模即为最大方向导数。 先求偏导数：
$$ \frac{\partial u}{\partial x} = y^{2} z,\quad \frac{\partial u}{\partial y} = 2 x y z,\quad \frac{\partial u}{\partial z} = x y^{2}. $$
在点 $ P_0(1, -1, 2) $ 处：
$$ \frac{\partial u}{\partial x}\Big|_{P_0} = (-1)^2 \cdot 2 = 2, $$ $$ \frac{\partial u}{\partial y}\Big|_{P_0} = 2 \cdot 1 \cdot (-1) \cdot 2 = -4, $$ $$ \frac{\partial u}{\partial z}\Big|_{P_0} = 1 \cdot (-1)^2 = 1. $$
因此梯度向量为：
$$ \nabla u(P_0) = (2,\,-4,\,1). $$
**第二步：变化最快的方向** 函数增加最快的方向是梯度方向，即：
$$ \vec{l} = (2,\,-4,\,1). $$
单位化得到方向向量：
$$ \vec{l_0} = \frac{(2,\,-4,\,1)}{\sqrt{2^2 + (-4)^2 + 1^2}} = \frac{(2,\,-4,\,1)}{\sqrt{4+16+1}} = \frac{(2,\,-4,\,1)}{\sqrt{21}}. $$
**第三步：沿该方向的方向导数** 最大方向导数等于梯度的模：
$$ |\nabla u(P_0)| = \sqrt{2^2 + (-4)^2 + 1^2} = \sqrt{21}. $$
因此沿最快增加方向的方向导数为 $\sqrt{21}$；若问变化最快的方向（包括减少方向），则减少最快的方向为 $(-2,4,-1)$，其方向导数为 $-\sqrt{21}$。
**最终答案** 函数在点 $P_0$ 处变化最快的方向为梯度方向 $(2,-4,1)$（增加最快），沿该方向的方向导数为 $\sqrt{21}$。
难度：★★☆☆☆