同济高数 第9章 第9-8-1题
📝 题目
1．已知函数 $f(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 的某个邻域内连续，且
$$ \displaystyle{\lim} _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{f(x, y)-x y}{\left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}}=1, $$
则下述四个选项中正确的是 ． （A）点 $(0,0)$ 不是 $f(x, y)$ 的极值点 （B）点 $(0,0)$ 是 $f(x, y)$ 的极大值点 （C）点 $(0,0)$ 是 $f(x, y)$ 的极小值点 （D）根据所给条件无法判断 $(0,0)$ 是不是 $f(x, y)$ 的极值点
💡 答案解析
[AI解答]
[AI解答] 由已知极限条件：
$$ \displaystyle{\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{f(x,y)-xy}{(x^2+y^2)^2}=1}, $$
说明当 $(x,y)\to(0,0)$ 时，有
$$ f(x,y) = xy + (x^2+y^2)^2 + o\big((x^2+y^2)^2\big). $$
在 $(0,0)$ 附近，主要项为 $xy$ 和 $(x^2+y^2)^2$。 考虑沿不同路径：
- 沿直线 $y=x$，有 $f(x,x) \approx x^2 + (2x^2)^2 = x^2 + 4x^4$，当 $x$ 很小时，$f(x,x)>0=f(0,0)$。 - 沿直线 $y=-x$，有 $f(x,-x) \approx -x^2 + (2x^2)^2 = -x^2 + 4x^4$，当 $|x|$ 充分小时，$-x^2$ 占主导，因此 $f(x,-x)<0=f(0,0)$。
这说明在 $(0,0)$ 的任意小邻域内，$f$ 既可取到大于 $f(0,0)$ 的值，也可取到小于 $f(0,0)$ 的值，因此 $(0,0)$ 不是极值点。
故正确选项为 **(A)**。
难度：★★☆☆☆