同济高数 第9章 第9-8-10题
📝 题目
10．求内接于半径为 $a$ 的球且有最大体积的长方体．
💡 答案解析
[AI解答]
[AI解答] 我们要求内接于半径为 $a$ 的球的长方体中，体积最大的那个。设长方体的长、宽、高分别为 $2x$、$2y$、$2z$（对称性，中心在球心），则长方体体积为 $$ V = (2x)(2y)(2z) = 8xyz $$ 由于长方体的顶点在球面上，有约束条件 $$ x^2 + y^2 + z^2 = a^2 $$ 其中 $x>0, y>0, z>0$。
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**步骤1：构造拉格朗日函数** 令 $$ L(x,y,z,\lambda) = 8xyz + \lambda (x^2 + y^2 + z^2 - a^2) $$
**步骤2：求偏导并令其为零** $$ \displaystyle\frac{\partial L}{\partial x} = 8yz + 2\lambda x = 0 \quad\Rightarrow\quad 4yz + \lambda x = 0 \tag{1} $$ $$ \displaystyle\frac{\partial L}{\partial y} = 8xz + 2\lambda y = 0 \quad\Rightarrow\quad 4xz + \lambda y = 0 \tag{2} $$ $$ \displaystyle\frac{\partial L}{\partial z} = 8xy + 2\lambda z = 0 \quad\Rightarrow\quad 4xy + \lambda z = 0 \tag{3} $$ $$ \displaystyle\frac{\partial L}{\partial \lambda} = x^2 + y^2 + z^2 - a^2 = 0 \tag{4} $$
**步骤3：消去 $\lambda$** 由(1)得 $\lambda = -\displaystyle\frac{4yz}{x}$，代入(2)： $$ 4xz - \frac{4yz}{x} \cdot y = 0 \quad\Rightarrow\quad 4xz - \frac{4y^2 z}{x} = 0 $$ 两边除以 $4z$（$z>0$）： $$ x - \frac{y^2}{x} = 0 \quad\Rightarrow\quad x^2 = y^2 $$ 同理，由(1)与(3)可得 $x^2 = z^2$。因此 $$ x = y = z $$
**步骤4：代入约束条件** 由(4)： $$ 3x^2 = a^2 \quad\Rightarrow\quad x = \frac{a}{\sqrt{3}} $$ 因此 $$ y = \frac{a}{\sqrt{3}},\quad z = \frac{a}{\sqrt{3}} $$
**步骤5：得到最大体积** 长方体尺寸为 $2x = \displaystyle\frac{2a}{\sqrt{3}}$，即正方体。 最大体积： $$ V_{\max} = 8 \cdot \frac{a}{\sqrt{3}} \cdot \frac{a}{\sqrt{3}} \cdot \frac{a}{\sqrt{3}} = \frac{8a^3}{3\sqrt{3}} $$
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**结论**：内接于半径为 $a$ 的球且有最大体积的长方体是棱长为 $\displaystyle\frac{2a}{\sqrt{3}}$ 的正方体，最大体积为 $\displaystyle\frac{8a^3}{3\sqrt{3}}$。
难度：★★☆☆☆