同济高数 第1章 第1-5-2题
📝 题目
2．计算下列极限： （1） $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow 2} \frac{x^{3}+2 x^{2}}{(x-2)^{2}}$ ； （2） $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow \infty} \frac{x^{2}}{2 x+1}$ ； （3） $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow \infty}\left(2 x^{3}-x+1\right)$ ．
💡 答案解析
[AI解答]
[AI解答] 以下为各小题的详细求解过程：
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### （1） $$ \displaystyle{\lim} _{x \rightarrow 2} \frac{x^{3}+2 x^{2}}{(x-2)^{2}} $$ 先代入 $x=2$： 分子：$2^3 + 2 \cdot 2^2 = 8 + 8 = 16$，分母：$(2-2)^2 = 0$，因此为 $\frac{16}{0}$ 型，极限为无穷大。 进一步分析符号：当 $x \to 2$ 时，分母 $(x-2)^2 > 0$，分子趋于正数 $16$，故极限为 $+\infty$。 因此： $$ \boxed{+\infty} $$
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### （2） $$ \displaystyle{\lim} _{x \rightarrow \infty} \frac{x^{2}}{2 x+1} $$ 此为 $\frac{\infty}{\infty}$ 型，分子最高次为 $x^2$，分母最高次为 $x$，故极限为无穷大。 具体做法：分子分母同除以 $x$： $$ \displaystyle{\lim}_{x \to \infty} \frac{x}{2 + \frac{1}{x}} = \frac{\infty}{2} = +\infty $$ 因此： $$ \boxed{+\infty} $$
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### （3） $$ \displaystyle{\lim} _{x \rightarrow \infty}\left(2 x^{3}-x+1\right) $$ 当 $x \to \infty$ 时，$2x^3$ 是主导项，趋向 $+\infty$，因此： $$ \boxed{+\infty} $$
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**难度评级**：★☆☆☆☆ 均为直接代入或简单比较最高次幂即可得出无穷大结果，属于基础极限题。