同济高数 第1章 第1-5-3题
📝 题目
3．计算下列极限： （1） $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow 0} x^{2} \sin \frac{1}{x}$ ； （2） $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow \infty} \frac{\arctan x}{x}$ ．
💡 答案解析
[AI解答]
[AI解答] （1）计算极限 $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow 0} x^{2} \sin \frac{1}{x}$。
由于当 $x \to 0$ 时，$x^2 \to 0$，而 $\sin\frac{1}{x}$ 是有界函数，满足 $|\sin\frac{1}{x}| \le 1$。 根据无穷小与有界函数的乘积仍是无穷小的性质，可得： $$ \lim_{x \to 0} x^{2} \sin\frac{1}{x} = 0. $$
（2）计算极限 $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow \infty} \frac{\arctan x}{x}$。
当 $x \to \infty$ 时，$\arctan x$ 是有界函数，且 $|\arctan x| \le \frac{\pi}{2}$，而分母 $x \to \infty$。 因此，分子有界，分母趋于无穷大，极限为： $$ \lim_{x \to \infty} \frac{\arctan x}{x} = 0. $$
难度：★☆☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/2
目标：计算极限 lim_{x→0} x^2 sin(1/x)
当 x→0 时，x^2 是无穷小量，而 sin(1/x) 是有界函数（|sin(1/x)| ≤ 1）。根据无穷小与有界函数的乘积仍是无穷小的性质，极限为 0。
公式：lim_{x→0} x^2 sin(1/x) = 0
提示：注意有界函数与无穷小的乘积仍为无穷小。
步骤 2/2
目标：计算极限 lim_{x→∞} arctan x / x
当 x→∞ 时，arctan x 是有界函数（|arctan x| ≤ π/2），而分母 x 趋于无穷大。因此分子有界，分母无穷大，极限为 0。
公式：lim_{x→∞} arctan x / x = 0
提示：分子有界，分母趋于无穷，极限为0。
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