同济高数 第1章 第1-5-6题
📝 题目
6．设有收敛数列 $\left\{x_{n}\right\}$ 和 $\left\{y_{n}\right\}$ ，若从某项起，有
$$ x_{n} \geqslant y_{n} \quad\left(n \geqslant N, N \in \mathbf{N}_{+}\right), $$
且 $\lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=A, \lim _{n \rightarrow \infty} y_{n}=B$ ，证明：$A \geqslant B$ ．
💡 答案解析
[AI解答]
[AI解答]
**证明**： 已知数列 $\{x_n\}$ 和 $\{y_n\}$ 均收敛，且存在正整数 $N$，使得当 $n \ge N$ 时，有 $$ x_n \ge y_n. $$ 设 $$ \lim_{n \to \infty} x_n = A, \quad \lim_{n \to \infty} y_n = B. $$ 要证明 $A \ge B$。
采用反证法。假设 $A < B$，则令 $$ \varepsilon = \frac{B - A}{2} > 0. $$ 由极限定义： - 对上述 $\varepsilon$，存在 $N_1$，当 $n > N_1$ 时，有 $$ |x_n - A| < \varepsilon \quad \Rightarrow \quad x_n < A + \varepsilon = A + \frac{B - A}{2} = \frac{A + B}{2}. $$ - 同样，存在 $N_2$，当 $n > N_2$ 时，有 $$ |y_n - B| < \varepsilon \quad \Rightarrow \quad y_n > B - \varepsilon = B - \frac{B - A}{2} = \frac{A + B}{2}. $$
取 $n > \max\{N, N_1, N_2\}$，则同时有 $$ x_n < \frac{A + B}{2} < y_n, $$ 这与已知条件 $x_n \ge y_n$ 矛盾。 因此假设不成立，故必有 $A \ge B$。
**难度评级**：★★☆☆☆