同济高数 第1章 第1-5-*7题

[AI解答]

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**定理3（2）** 通常指：若函数 $f(x)$ 在区间 $[a,b]$ 上连续，则其定积分存在，且满足线性性质： $$ \int_a^b [f(x) + g(x)]\,dx = \int_a^b f(x)\,dx + \int_a^b g(x)\,dx $$ 以及常数因子可提取： $$ \int_a^b k f(x)\,dx = k \int_a^b f(x)\,dx $$ 这里我们证明线性性质中的加法部分。

**证明：**

设 $f(x), g(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，则它们均可积。对区间 $[a,b]$ 作任意分割： $$ a = x_0 < x_1 < x_2 < \cdots < x_n = b, $$ 记 $\Delta x_i = x_i - x_{i-1}$，并任取 $\xi_i \in [x_{i-1}, x_i]$。作函数 $h(x) = f(x) + g(x)$ 的黎曼和： $$ S_n(h) = \sum_{i=1}^n h(\xi_i) \Delta x_i = \sum_{i=1}^n [f(\xi_i) + g(\xi_i)] \Delta x_i. $$

由加法分配律，可拆分为两个和： $$ S_n(h) = \sum_{i=1}^n f(\xi_i) \Delta x_i + \sum_{i=1}^n g(\xi_i) \Delta x_i = S_n(f) + S_n(g). $$

令最大子区间长度 $\lambda = \displaystyle{\max_{1 \le i \le n}} \Delta x_i \to 0$，由于 $f,g$ 可积，极限存在： $$ \lim_{\lambda \to 0} S_n(f) = \int_a^b f(x)\,dx, \quad \lim_{\lambda \to 0} S_n(g) = \int_a^b g(x)\,dx. $$

因此， $$ \lim_{\lambda \to 0} S_n(h) = \lim_{\lambda \to 0} [S_n(f) + S_n(g)] = \int_a^b f(x)\,dx + \int_a^b g(x)\,dx. $$

由定积分的定义，左端即为 $\displaystyle{\int_a^b [f(x) + g(x)]\,dx}$，故 $$ \int_a^b [f(x) + g(x)]\,dx = \int_a^b f(x)\,dx + \int_a^b g(x)\,dx. $$

常数倍的情形类似：对 $k f(x)$ 作黎曼和，提取公因子 $k$，取极限即得。

**难度评级：★★☆☆☆** （属于基础性证明，主要依赖黎曼和定义与极限运算，思路直接，但需注意分割与取极限的严格表述。）