同济高数 第1章 第1-7-5题
📝 题目
5．利用等价无穷小的性质，求下列极限： （1） $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow 0} \frac{\tan 3 x}{2 x}$ ； （2） $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow 0} \frac{\sin \left(x^{n}\right)}{(\sin x)^{m}}(n, m$ 为正整数）； （3） $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow 0} \frac{\tan x-\sin x}{\sin ^{3} x}$ ； （4） $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow 0} \frac{\sin x-\tan x}{\left(\sqrt[3]{1+x^{2}}-1\right)(\sqrt{1+\sin x}-1)}$ ．
💡 答案解析
[AI解答]
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**（1）** $$ \displaystyle{\lim_{x \to 0} \frac{\tan 3x}{2x}} $$ 当 $x \to 0$ 时，$\tan 3x \sim 3x$，故 $$ \lim_{x \to 0} \frac{\tan 3x}{2x} = \lim_{x \to 0} \frac{3x}{2x} = \frac{3}{2}. $$ 难度：★☆☆☆☆
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**（2）** $$ \displaystyle{\lim_{x \to 0} \frac{\sin(x^n)}{(\sin x)^m}}, \quad n,m \in \mathbb{N}^+ $$ 当 $x \to 0$ 时，$\sin(x^n) \sim x^n$，$\sin x \sim x$，故 $$ \lim_{x \to 0} \frac{x^n}{x^m} = \lim_{x \to 0} x^{n-m}. $$ - 若 $n > m$，极限为 $0$； - 若 $n = m$，极限为 $1$； - 若 $n < m$，极限为 $\infty$。
难度：★★☆☆☆
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**（3）** $$ \displaystyle{\lim_{x \to 0} \frac{\tan x - \sin x}{\sin^3 x}} $$ 先化简分子： $$ \tan x - \sin x = \frac{\sin x}{\cos x} - \sin x = \sin x \cdot \frac{1 - \cos x}{\cos x}. $$ 当 $x \to 0$ 时，$\sin x \sim x$，$1 - \cos x \sim \frac{x^2}{2}$，$\cos x \to 1$，$\sin^3 x \sim x^3$，故 $$ \lim_{x \to 0} \frac{x \cdot \frac{x^2}{2}}{x^3} = \frac{1}{2}. $$ 难度：★★☆☆☆
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**（4）** $$ \displaystyle{\lim_{x \to 0} \frac{\sin x - \tan x}{\left(\sqrt[3]{1+x^2} - 1\right)\left(\sqrt{1+\sin x} - 1\right)}} $$ 分子： $$ \sin x - \tan x = \sin x - \frac{\sin x}{\cos x} = \sin x \cdot \frac{\cos x - 1}{\cos x} \sim x \cdot \frac{-\frac{x^2}{2}}{1} = -\frac{x^3}{2}. $$ 分母第一项： $$ \sqrt[3]{1+x^2} - 1 \sim \frac{x^2}{3}. $$ 分母第二项：当 $x \to 0$ 时，$\sin x \sim x$， $$ \sqrt{1+\sin x} - 1 \sim \frac{\sin x}{2} \sim \frac{x}{2}. $$ 因此分母 $\sim \frac{x^2}{3} \cdot \frac{x}{2} = \frac{x^3}{6}$。 于是极限为 $$ \frac{-\frac{x^3}{2}}{\frac{x^3}{6}} = -3. $$ 难度：★★★☆☆