同济高数 第1章 第1-7-6题
📝 题目
6．证明无穷小的等价关系具有下列性质： （1）$\alpha \sim \alpha$（自反性）； （2）若 $\alpha \sim \beta$ ，则 $\beta \sim \alpha$（对称性）； （3）若 $\alpha \sim \beta, \beta \sim \gamma$ ，则 $\alpha \sim \gamma$（传递性）．
💡 答案解析
[AI解答]
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我们需要证明无穷小等价关系具有自反性、对称性和传递性。 首先明确定义：设当 $x \to x_0$（或 $x \to \infty$）时，$\alpha, \beta$ 均为无穷小量。若 $$ \lim \frac{\alpha}{\beta} = 1, $$ 则称 $\alpha$ 与 $\beta$ 等价，记作 $\alpha \sim \beta$。
**（1）自反性**：$\alpha \sim \alpha$ 由于 $\displaystyle{\lim \frac{\alpha}{\alpha} = \lim 1 = 1}$，因此 $\alpha \sim \alpha$ 成立。
**（2）对称性**：若 $\alpha \sim \beta$，则 $\beta \sim \alpha$ 已知 $\displaystyle{\lim \frac{\alpha}{\beta} = 1}$，则 $$ \lim \frac{\beta}{\alpha} = \lim \frac{1}{\frac{\alpha}{\beta}} = \frac{1}{1} = 1, $$ 故 $\beta \sim \alpha$。
**（3）传递性**：若 $\alpha \sim \beta$ 且 $\beta \sim \gamma$，则 $\alpha \sim \gamma$ 由已知 $$ \lim \frac{\alpha}{\beta} = 1,\quad \lim \frac{\beta}{\gamma} = 1, $$ 则 $$ \lim \frac{\alpha}{\gamma} = \lim \left( \frac{\alpha}{\beta} \cdot \frac{\beta}{\gamma} \right) = 1 \cdot 1 = 1, $$ 因此 $\alpha \sim \gamma$。
综上，无穷小等价关系满足自反性、对称性和传递性，故它是一个等价关系。
难度：★☆☆☆☆