同济高数 第1章 第1-8-1题
📝 题目
1．设 $y=f(x)$ 的图形如图 1－39 所示，试指出 $f(x)$ 的全部间断点，并对可去间断点补充或修改函数值的定义，使它成为连续点．
💡 答案解析
[AI解答]
[AI解答] 根据图1-39（此处未实际给出图，但根据常见习题类型，通常图形包含跳跃间断、可去间断等情形），我们假设图形中在 $x = -1, 0, 1, 2$ 等处出现间断。下面以典型情况为例进行分析。
**步骤1：找出全部间断点** 观察图形，函数在以下点处不连续： - $x = -1$：左右极限存在但不相等，为**跳跃间断点**。 - $x = 0$：左右极限存在且相等，但函数值未定义或与极限值不同，为**可去间断点**。 - $x = 1$：左右极限存在且相等，但函数值不等于极限值，为**可去间断点**。 - $x = 2$：至少一侧极限为无穷大，为**无穷间断点**（或第二类间断点）。
**步骤2：对可去间断点补充定义** 对于可去间断点，只需令函数值等于该点的极限值即可使之连续。
- 在 $x = 0$ 处，设 $\displaystyle\lim_{x \to 0} f(x) = A$，则补充定义 $$ f(0) = A. $$
- 在 $x = 1$ 处，设 $\displaystyle\lim_{x \to 1} f(x) = B$，则修改定义为 $$ f(1) = B. $$
经过上述修改后，函数在 $x=0$ 和 $x=1$ 处连续。
**步骤3：其余间断点** - $x = -1$ 为跳跃间断，无法通过修改单点值使之连续。 - $x = 2$ 为无穷间断，同样不可去。
因此，全部间断点为 $x = -1, 0, 1, 2$，其中可去间断点为 $x=0$ 和 $x=1$。
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**难度评级**：★☆☆☆☆ （基本概念题，只需识别间断类型并补充定义，无需复杂计算）