同济高数 第1章 第1-8-2题
📝 题目
2．研究下列函数的连续性，并画出函数的图形： （1）$f(x)= \begin{cases}x^{2}, & 0 \leqslant x \leqslant 1, \\ 2-x, & 1\lt x \leqslant 2 ;\end{cases}$ （2）$f(x)= \begin{cases}x, & -1 \leqslant x \leqslant 1, \\ 1, & x\lt -1 \text { 或 } x\gt 1 .\end{cases}$
💡 答案解析
[AI解答]
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**习题1-8 第2题**
**（1）** 函数 $$ f(x)= \begin{cases} x^{2}, & 0 \leqslant x \leqslant 1, \\ 2-x, & 1< x \leqslant 2 . \end{cases} $$
**连续性分析：** - 在区间 $[0,1)$ 上，$f(x)=x^{2}$ 为多项式函数，连续。 - 在区间 $(1,2]$ 上，$f(x)=2-x$ 为一次函数，连续。 - 在分段点 $x=1$ 处： 左极限：$\displaystyle\lim_{x \to 1^{-}} f(x) = \lim_{x \to 1^{-}} x^{2} = 1$。 右极限：$\displaystyle\lim_{x \to 1^{+}} f(x) = \lim_{x \to 1^{+}} (2-x) = 1$。 函数值：$f(1)=1^{2}=1$。 左极限 = 右极限 = 函数值，故在 $x=1$ 处连续。
因此 $f(x)$ 在 $[0,2]$ 上连续。
**图形描述：** - 从 $(0,0)$ 到 $(1,1)$ 是抛物线 $y=x^{2}$ 的一段。 - 从 $(1,1)$ 到 $(2,0)$ 是直线 $y=2-x$ 的一段。 两段在 $(1,1)$ 处光滑连接。
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**（2）** 函数 $$ f(x)= \begin{cases} x, & -1 \leqslant x \leqslant 1, \\ 1, & x < -1 \ \text{或} \ x > 1 . \end{cases} $$
**连续性分析：** - 在区间 $(-1,1)$ 上，$f(x)=x$ 连续。 - 在区间 $(-\infty,-1)$ 和 $(1,+\infty)$ 上，$f(x)=1$ 为常数函数，连续。 - 在分段点 $x=-1$ 处： 左极限：$\displaystyle\lim_{x \to -1^{-}} f(x) = \lim_{x \to -1^{-}} 1 = 1$。 右极限：$\displaystyle\lim_{x \to -1^{+}} f(x) = \lim_{x \to -1^{+}} x = -1$。 函数值：$f(-1) = -1$。 左极限 ≠ 右极限，因此 $x=-1$ 为跳跃间断点。 - 在分段点 $x=1$ 处： 左极限：$\displaystyle\lim_{x \to 1^{-}} f(x) = \lim_{x \to 1^{-}} x = 1$。 右极限：$\displaystyle\lim_{x \to 1^{+}} f(x) = \lim_{x \to 1^{+}} 1 = 1$。 函数值：$f(1)=1$。 左极限 = 右极限 = 函数值，故在 $x=1$ 处连续。
因此 $f(x)$ 在 $(-\infty,-1)$ 和 $[-1,+\infty)$ 上连续，仅在 $x=-1$ 处不连续（跳跃间断点）。
**图形描述：** - 当 $x<-1$ 时，图形为水平线 $y=1$（不包括 $x=-1$ 点）。 - 当 $-1 \le x \le 1$ 时，图形为直线 $y=x$ 从 $(-1,-1)$ 到 $(1,1)$。 - 当 $x>1$ 时，图形为水平线 $y=1$。 在 $x=-1$ 处，左极限为 $1$，右极限为 $-1$，函数值为 $-1$，出现跳跃。
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**难度评级：** ★☆☆☆☆ （基础分段函数连续性判断，只需计算分段点两侧极限并与函数值比较，图形简单。）