同济高数 第2章 第2-1-1题
📝 题目
1．设物体绕定轴旋转，在时间间隔 $[0, t]$ 上转过角度 $\theta$ ，从而转角 $\theta$ 是 $t$ 的函数：$\theta=\theta(t)$ ．如果旋转是匀速的，那么称 $\displaystyle \omega=\frac{\theta}{t}$ 为该物体旋转的角速度．如果旋转是非匀速的，应怎样确定该物体在时刻 $t_{0}$ 的角速度？
💡 答案解析
[AI解答]
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要确定非匀速旋转物体在时刻 $ t_0 $ 的角速度，我们可以类比直线运动中瞬时速度的定义方法。 在直线运动中，若位移函数为 $ s(t) $，则瞬时速度定义为位移对时间的导数： $$ v(t_0) = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{s(t_0 + \Delta t) - s(t_0)}{\Delta t}. $$ 类似地，对于旋转运动，转角 $\theta(t)$ 是时间 $t$ 的函数，在时刻 $t_0$ 附近取一小段时间增量 $\Delta t$，对应的转角增量为 $$ \Delta \theta = \theta(t_0 + \Delta t) - \theta(t_0). $$ 在 $\Delta t$ 时间内的平均角速度为 $$ \bar{\omega} = \frac{\Delta \theta}{\Delta t}. $$ 当 $\Delta t \to 0$ 时，平均角速度的极限就是物体在时刻 $t_0$ 的瞬时角速度，即 $$ \omega(t_0) = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{\Delta \theta}{\Delta t} = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{\theta(t_0 + \Delta t) - \theta(t_0)}{\Delta t}. $$ 由导数的定义可知，这个极限正是转角函数 $\theta(t)$ 在 $t_0$ 处的导数，因此 $$ \omega(t_0) = \theta'(t_0) = \left. \frac{d\theta}{dt} \right|_{t = t_0}. $$ 所以，非匀速旋转物体在时刻 $t_0$ 的角速度等于转角函数在该时刻的导数值。
难度：★☆☆☆☆