同济高数 第2章 第2-1-10题
📝 题目
10．已知物体的运动规律为 $s=t^{3} \mathrm{~m}$ ，求这物体在 $t=2 \mathrm{~s}$ 时的速度．
💡 答案解析
[AI解答]
[AI解答] 已知物体的运动方程为 $$ s(t) = t^{3} \ \mathrm{m} $$ 速度是位移对时间的一阶导数，即 $$ v(t) = \frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t} = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(t^{3}\right) $$ 由幂函数求导公式 $\displaystyle{}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(t^{n}\right) = n t^{n-1}$，得 $$ v(t) = 3t^{2} \ \mathrm{m/s} $$ 将 $t=2\ \mathrm{s}$ 代入： $$ v(2) = 3 \times (2)^{2} = 3 \times 4 = 12 \ \mathrm{m/s} $$ 因此，物体在 $t=2\ \mathrm{s}$ 时的速度为 $12\ \mathrm{m/s}$。
难度：★☆☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：写出速度与位移的关系
速度是位移对时间的一阶导数，即 v(t) = ds/dt。
公式：v(t) = \frac{ds}{dt}
提示：牢记导数的物理意义：速度是位移的变化率。
步骤 2/3
目标：对位移函数求导
已知 s(t)=t^3，求导得 v(t)=3t^2。
公式：\frac{d}{dt}(t^n)=n t^{n-1}
提示：幂函数求导：指数乘系数，指数减1。
步骤 3/3
目标：代入时间 t=2 s 计算速度
将 t=2 代入 v(t)=3t^2，得 v(2)=3×4=12。
提示：注意单位：速度单位为 m/s。
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