同济高数 第2章 第2-1-11题

[AI解答]

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**证明（1）** 设 $ f(x) $ 为可导的奇函数，即对任意 $ x $ 有 $$ f(-x) = -f(x) $$ 两边对 $ x $ 求导，左边由链式法则得 $$ \frac{d}{dx} f(-x) = f'(-x) \cdot (-1) = -f'(-x) $$ 右边导数为 $$ \frac{d}{dx}[-f(x)] = -f'(x) $$ 因此 $$ -f'(-x) = -f'(x) \quad \Rightarrow \quad f'(-x) = f'(x) $$ 故 $ f'(x) $ 为偶函数。

**证明（2）** 设 $ f(x) $ 为可导的偶函数，即 $$ f(-x) = f(x) $$ 两边求导： 左边 $$ \frac{d}{dx} f(-x) = -f'(-x) $$ 右边 $$ \frac{d}{dx} f(x) = f'(x) $$ 因此 $$ -f'(-x) = f'(x) \quad \Rightarrow \quad f'(-x) = -f'(x) $$ 故 $ f'(x) $ 为奇函数。

**证明（3）** 设 $ f(x) $ 为偶函数，且 $ f'(0) $ 存在。由偶函数定义： $$ f(-h) = f(h) $$ 考虑导数定义： $$ f'(0) = \displaystyle\lim_{h \to 0} \frac{f(h) - f(0)}{h} $$ 同时，利用偶函数性质，有 $$ f'(0) = \displaystyle\lim_{h \to 0} \frac{f(-h) - f(0)}{-h} = \displaystyle\lim_{h \to 0} \frac{f(h) - f(0)}{-h} = -\displaystyle\lim_{h \to 0} \frac{f(h) - f(0)}{h} = -f'(0) $$ 因此 $$ f'(0) = -f'(0) \quad \Rightarrow \quad 2f'(0) = 0 \quad \Rightarrow \quad f'(0) = 0 $$ 证毕。

难度：★★☆☆☆