同济高数 第2章 第2-1-12题

[AI解答]

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我们需要求曲线 $ y = \sin x $ 在指定点处切线的斜率。 切线斜率即为函数在该点的导数值。

首先，求导数： $$ y' = \frac{d}{dx}(\sin x) = \cos x $$

**第一步：当 $ x = \frac{2}{3}\pi $ 时** 代入导数公式： $$ y'\left( \frac{2}{3}\pi \right) = \cos\left( \frac{2}{3}\pi \right) $$ 由于 $\displaystyle \frac{2}{3}\pi = \pi - \frac{\pi}{3}$，利用诱导公式： $$ \cos\left( \pi - \frac{\pi}{3} \right) = -\cos\frac{\pi}{3} = -\frac{1}{2} $$ 所以斜率为 $-\frac{1}{2}$。

**第二步：当 $ x = \pi $ 时** 代入导数公式： $$ y'(\pi) = \cos\pi = -1 $$ 所以斜率为 $-1$。

**最终答案：** $$ \boxed{-\frac{1}{2}} \quad \text{和} \quad \boxed{-1} $$

难度：★☆☆☆☆ （仅需基本导数公式和三角函数值计算，步骤简单。）