同济高数 第2章 第2-1-13题
📝 题目
13．求曲线 $y=\cos x$ 上点 $\displaystyle \left(\frac{\pi}{3}, \frac{1}{2}\right)$ 处的切线方程和法线方程．
💡 答案解析
[AI解答]
[AI解答] 首先，曲线方程为 $y = \cos x$，求导得 $$ y' = -\sin x. $$ 在点 $\left(\frac{\pi}{3}, \frac{1}{2}\right)$ 处，斜率为 $$ k_{\text{切}} = -\sin\frac{\pi}{3} = -\frac{\sqrt{3}}{2}. $$ 切线方程为 $$ y - \frac{1}{2} = -\frac{\sqrt{3}}{2}\left(x - \frac{\pi}{3}\right). $$ 整理得 $$ y = -\frac{\sqrt{3}}{2}x + \frac{\sqrt{3}\pi}{6} + \frac{1}{2}. $$
法线斜率为切线斜率的负倒数，即 $$ k_{\text{法}} = \frac{2}{\sqrt{3}}. $$ 法线方程为 $$ y - \frac{1}{2} = \frac{2}{\sqrt{3}}\left(x - \frac{\pi}{3}\right). $$ 整理得 $$ y = \frac{2}{\sqrt{3}}x - \frac{2\pi}{3\sqrt{3}} + \frac{1}{2}. $$
难度：★☆☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：求导数得到切线斜率
对曲线方程 y = cos x 求导，得到 y' = -sin x。
公式：y' = -sin x
提示：记住基本导数公式 (cos x)' = -sin x。
步骤 2/7
目标：计算给定点的切线斜率
将 x = π/3 代入导数，得到 k_切 = -sin(π/3) = -√3/2。
公式：k_切 = -sin(π/3) = -√3/2
提示：sin(π/3) = √3/2。
步骤 3/7
目标：写出切线方程
利用点斜式 y - y0 = k(x - x0)，其中 (x0, y0) = (π/3, 1/2)，k = -√3/2，得到切线方程 y - 1/2 = -√3/2 (x - π/3)。
公式：y - 1/2 = -√3/2 (x - π/3)
提示：点斜式方程。
步骤 4/7
目标：化简切线方程
整理得 y = -√3/2 x + (√3π)/6 + 1/2。
公式：y = -√3/2 x + (√3π)/6 + 1/2
提示：注意括号展开和移项。
步骤 5/7
目标：计算法线斜率
法线斜率是切线斜率的负倒数，即 k_法 = 2/√3。
公式：k_法 = 2/√3
提示：负倒数：k_法 = -1/k_切。
步骤 6/7
目标：写出法线方程
利用点斜式，得到法线方程 y - 1/2 = (2/√3)(x - π/3)。
公式：y - 1/2 = (2/√3)(x - π/3)
提示：点斜式。
步骤 7/7
目标：化简法线方程
整理得 y = (2/√3)x - (2π)/(3√3) + 1/2。
公式：y = (2/√3)x - (2π)/(3√3) + 1/2
提示：注意有理化或保留根号形式。
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