同济高数 第2章 第2-1-14题
📝 题目
14．求曲线 $y=\mathrm{e}^{x}$ 在点 $(0,1)$ 处的切线方程．
💡 答案解析
[AI解答]
[AI解答] 曲线方程为 $ y = e^x $，先求导数： $$ y' = \frac{d}{dx} e^x = e^x. $$ 在点 $(0,1)$ 处，$x=0$，代入得切线斜率为 $$ k = e^0 = 1. $$ 切线方程的点斜式为 $$ y - y_0 = k (x - x_0), $$ 代入 $ (x_0, y_0) = (0,1) $，$ k = 1 $，得到 $$ y - 1 = 1 \cdot (x - 0), $$ 即 $$ y = x + 1. $$
因此，所求切线方程为 $$ \boxed{y = x + 1}. $$
难度：★☆☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：求导数
对曲线方程 y = e^x 求导，得到 y' = e^x。
公式：y' = e^x
提示：指数函数的导数等于其本身。
步骤 2/3
目标：计算切线斜率
将点 (0,1) 的横坐标 x=0 代入导数，得到斜率 k = e^0 = 1。
公式：k = y'(0) = e^0 = 1
提示：e^0 = 1。
步骤 3/3
目标：写出切线方程
使用点斜式 y - y0 = k(x - x0)，代入 (x0, y0) = (0,1) 和 k=1，得 y - 1 = 1*(x - 0)，化简为 y = x + 1。
公式：y - y0 = k(x - x0)
提示：点斜式是求切线方程的常用方法。
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