同济高数 第2章 第2-2-13题

[AI解答]

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我们分析函数 $F(x) = f(x) g(x)$ 在 $x_0$ 处的可导性。已知条件为： - $f(x)$ 在 $x_0$ 处可导，且 $f(x_0) = 0$； - $g(x)$ 在 $x_0$ 处连续。

根据导数的定义，考察极限 $$ \lim_{x \to x_0} \frac{F(x) - F(x_0)}{x - x_0} = \lim_{x \to x_0} \frac{f(x)g(x) - f(x_0)g(x_0)}{x - x_0}. $$ 由于 $f(x_0) = 0$，所以 $F(x_0) = f(x_0)g(x_0) = 0$，于是上式化为 $$ \lim_{x \to x_0} \frac{f(x)g(x)}{x - x_0}. $$

因为 $f(x)$ 在 $x_0$ 处可导，所以 $$ \lim_{x \to x_0} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} = \lim_{x \to x_0} \frac{f(x)}{x - x_0} = f'(x_0). $$

我们考虑将极限拆分为 $$ \lim_{x \to x_0} \frac{f(x)g(x)}{x - x_0} = \lim_{x \to x_0} \left[ \frac{f(x)}{x - x_0} \cdot g(x) \right]. $$

由于 $g(x)$ 在 $x_0$ 处连续，所以 $$ \lim_{x \to x_0} g(x) = g(x_0). $$

又因为 $\displaystyle \lim_{x \to x_0} \frac{f(x)}{x - x_0} = f'(x_0)$ 存在（有限），根据极限的乘法法则，有 $$ \lim_{x \to x_0} \frac{f(x)g(x)}{x - x_0} = f'(x_0) \cdot g(x_0). $$

因此，极限存在且有限，故 $F(x) = f(x)g(x)$ 在 $x_0$ 处可导，且 $$ \bigl( f(x)g(x) \bigr)'\big|_{x=x_0} = f'(x_0) g(x_0). $$

**结论**：在给定条件下，$f(x)g(x)$ 在 $x_0$ 处一定可导。

难度：★★☆☆☆