同济高数 第2章 第2-2-14题
📝 题目
14．设函数 $f(x)$ 满足下列条件： （1）$f(x+y)=f(x) \cdot f(y)$ ，对一切 $x, y \in \mathbf{R}$ ； （2）$f(x)$ 在 $x=0$ 处可导． 试证明 $f(x)$ 在 $\mathbf{R}$ 上处处可导，且 $f^{\prime}(x)=f(x) \cdot f^{\prime}(0)$ ．
💡 答案解析
[AI解答]
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**证明**： 已知函数 $ f(x) $ 满足函数方程 $$ f(x+y) = f(x) f(y), \quad \forall x, y \in \mathbb{R} $$ 且 $ f(x) $ 在 $ x=0 $ 处可导。
首先，由条件（1），令 $ x = y = 0 $，得 $$ f(0) = f(0) f(0) $$ 即 $ f(0)(f(0) - 1) = 0 $，所以 $ f(0) = 0 $ 或 $ f(0) = 1 $。
若 $ f(0) = 0 $，则对任意 $ x \in \mathbb{R} $，有 $$ f(x) = f(x+0) = f(x) f(0) = 0 $$ 此时 $ f(x) \equiv 0 $，显然处处可导且导数为 0，结论成立（此时 $ f'(0)=0 $）。
下面考虑 $ f(0) = 1 $ 的情形。
由于 $ f(x) $ 在 $ x=0 $ 处可导，即极限 $$ f'(0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(h) - f(0)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{f(h) - 1}{h} $$ 存在。
对任意 $ x \in \mathbb{R} $，考虑导数定义： $$ f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h} $$ 利用条件（1），有 $$ f(x+h) = f(x) f(h) $$ 因此 $$ \frac{f(x+h) - f(x)}{h} = \frac{f(x) f(h) - f(x)}{h} = f(x) \cdot \frac{f(h) - 1}{h} $$ 当 $ h \to 0 $ 时，由已知极限存在，得 $$ f'(x) = f(x) \cdot \lim_{h \to 0} \frac{f(h) - 1}{h} = f(x) \cdot f'(0) $$ 这说明 $ f(x) $ 在任意点 $ x $ 处可导，且导数为 $ f'(x) = f(x) f'(0) $。
综上，结论成立。
**难度评级**：★★☆☆☆