同济高数 第3章 第3-1-4题

教材习题

📝 题目

4．试证明对函数 $y=p x^{2}+q x+r$ 应用拉格朗日中值定理时所求得的点 $\xi$ 总是位于区间的正中间．

💡 答案解析

[AI解答]

[AI解答] 我们考虑函数 $y = p x^{2} + q x + r$，其中 $p, q, r$ 是常数且 $p \neq 0$（否则为线性函数，结论仍然成立，但二次情形更典型）。设区间为 $[a, b]$，且 $a < b$。

拉格朗日中值定理指出：若函数在闭区间 $[a, b]$ 上连续，在开区间 $(a, b)$ 内可导，则存在一点 $\xi \in (a, b)$，使得 $$ f'(\xi) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}. $$

首先计算函数在端点处的差值： $$ f(b) - f(a) = (p b^{2} + q b + r) - (p a^{2} + q a + r) = p(b^{2} - a^{2}) + q(b - a). $$ 利用平方差公式 $b^{2} - a^{2} = (b-a)(b+a)$，得 $$ f(b) - f(a) = p(b-a)(b+a) + q(b-a) = (b-a)\big[p(a+b) + q\big]. $$

于是拉格朗日中值公式的右端为： $$ \frac{f(b) - f(a)}{b - a} = p(a+b) + q. $$

再计算函数的导数： $$ f'(x) = 2p x + q. $$

令其等于上述平均值： $$ 2p \xi + q = p(a+b) + q. $$

两边消去 $q$，得到： $$ 2p \xi = p(a+b). $$

由于 $p \neq 0$，两边除以 $2p$ 得： $$ \xi = \frac{a+b}{2}. $$

因此，对于二次函数 $y = p x^{2} + q x + r$，拉格朗日中值定理中的点 $\xi$ 总是区间的中点，即位于区间的正中间。证毕。

难度：★☆☆☆☆

📋 详细解题步骤

步骤 1/8
目标：设定函数和区间
考虑函数 y = p x^2 + q x + r，其中 p, q, r 是常数且 p ≠ 0。设区间为 [a, b]，且 a < b。
提示：p ≠ 0 确保函数是二次的，但结论对线性函数也成立。
步骤 2/8
目标：应用拉格朗日中值定理
拉格朗日中值定理：存在 ξ ∈ (a, b) 使得 f'(ξ) = (f(b)-f(a))/(b-a)。
公式：f'(ξ) = \frac{f(b)-f(a)}{b-a}
提示：定理要求函数在闭区间连续，开区间可导，二次函数满足条件。
步骤 3/8
目标：计算 f(b)-f(a)
f(b)-f(a) = (p b^2 + q b + r) - (p a^2 + q a + r) = p(b^2 - a^2) + q(b - a)。
公式：b^2 - a^2 = (b-a)(b+a)
提示：利用平方差公式化简。
步骤 4/8
目标：化简差值
f(b)-f(a) = p(b-a)(b+a) + q(b-a) = (b-a)[p(a+b) + q]。
提示：提取公因式 (b-a)。
步骤 5/8
目标：计算右端平均值
\frac{f(b)-f(a)}{b-a} = p(a+b) + q。
提示：约去 (b-a)。
步骤 6/8
目标：求导数
f'(x) = 2p x + q。
提示：幂函数求导法则。
步骤 7/8
目标：建立方程并求解 ξ
令 f'(ξ) = 2p ξ + q 等于 p(a+b) + q，得 2p ξ + q = p(a+b) + q，消去 q 得 2p ξ = p(a+b)。
提示：注意 p ≠ 0，可除以 2p。
步骤 8/8
目标：得出 ξ
ξ = (a+b)/2，即区间中点。
公式：\xi = \frac{a+b}{2}
提示：结论：ξ 总是位于区间正中间。

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