同济高数 第3章 第3-1-5题
📝 题目
5．不用求出函数 $f(x)=(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)$ 的导数，说明方程 $f^{\prime}(x)=0$ 有几个实根，并指出它们所在的区间．
💡 答案解析
[AI解答]
[AI解答] 我们考虑函数 $$ f(x) = (x-1)(x-2)(x-3)(x-4) $$ 这是一个四次多项式，其导数为三次多项式，因此方程 $f'(x)=0$ 最多有三个实根。
函数 $f(x)$ 的零点为 $x=1,2,3,4$，且均为单根。由罗尔定理，在每两个相邻零点之间，导函数至少有一个零点。具体地：
- 在区间 $(1,2)$ 上，$f(1)=f(2)=0$，故存在 $\xi_1 \in (1,2)$ 使得 $f'(\xi_1)=0$； - 在区间 $(2,3)$ 上，$f(2)=f(3)=0$，故存在 $\xi_2 \in (2,3)$ 使得 $f'(\xi_2)=0$； - 在区间 $(3,4)$ 上，$f(3)=f(4)=0$，故存在 $\xi_3 \in (3,4)$ 使得 $f'(\xi_3)=0$。
这样已经找到三个不同的实根，而三次方程最多有三个实根，因此恰好有三个实根，分别位于 $$ (1,2),\quad (2,3),\quad (3,4) $$ 内。
难度：★☆☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：分析函数类型和导数次数
f(x)是四次多项式，其导数是三次多项式，因此方程f'(x)=0最多有三个实根。
提示：多项式求导后次数降低一次。
步骤 2/4
目标：找出f(x)的零点
f(x)的零点为x=1,2,3,4，且均为单根。
提示：零点即方程f(x)=0的解。
步骤 3/4
目标：应用罗尔定理
在区间(1,2)上，f(1)=f(2)=0，故存在ξ1∈(1,2)使得f'(ξ1)=0；在区间(2,3)上，f(2)=f(3)=0，故存在ξ2∈(2,3)使得f'(ξ2)=0；在区间(3,4)上，f(3)=f(4)=0，故存在ξ3∈(3,4)使得f'(ξ3)=0。
公式：罗尔定理：若f(a)=f(b)，则存在c∈(a,b)使f'(c)=0。
提示：相邻零点之间至少有一个导数为零的点。
步骤 4/4
目标：确定实根个数和区间
已找到三个不同的实根，而三次方程最多有三个实根，因此恰好有三个实根，分别位于(1,2)、(2,3)、(3,4)内。
提示：三次方程实根个数不超过3。
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