同济高数 第3章 第3-1-8题
📝 题目
8．若函数 $f(x)$ 在 $[1,2]$ 上具有二阶导数，且 $f(2)=0$ ，又 $F(x)=(x-1)^{2} f(x)$ ，证明在 $(1,2)$ 内至少存在一点 $\xi$ ，使 $F^{\prime \prime}(\xi)=0$ ．
💡 答案解析
[AI解答]
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**证明**： 已知 $F(x) = (x-1)^2 f(x)$，其中 $f(x)$ 在 $[1,2]$ 上具有二阶导数，且 $f(2)=0$。
首先计算 $F(x)$ 在端点处的值： $$ F(1) = (1-1)^2 f(1) = 0, \quad F(2) = (2-1)^2 f(2) = 1 \cdot 0 = 0. $$ 因此 $F(1) = F(2) = 0$。
由罗尔定理，存在 $\eta \in (1,2)$，使得 $$ F'(\eta) = 0. $$
再考虑 $F'(x)$ 的表达式。对 $F(x)$ 求导： $$ F'(x) = 2(x-1)f(x) + (x-1)^2 f'(x). $$ 代入 $x=1$： $$ F'(1) = 2(1-1)f(1) + (1-1)^2 f'(1) = 0. $$ 因此 $F'(1) = 0$，且已得 $F'(\eta)=0$，其中 $1 < \eta < 2$。
于是 $F'(x)$ 在 $[1, \eta]$ 上满足罗尔定理条件（$F'(1)=F'(\eta)=0$），故存在 $\xi \in (1,\eta) \subset (1,2)$，使得 $$ F''(\xi) = 0. $$
证毕。
难度：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：计算F(x)在端点处的值
已知F(x)=(x-1)^2 f(x)，代入x=1得F(1)=0，代入x=2得F(2)=1·f(2)=0。
公式：F(1)=0, F(2)=0
提示：注意f(2)=0的条件。
步骤 2/4
目标：应用罗尔定理得到存在η使F'(η)=0
由于F(x)在[1,2]上连续，在(1,2)内可导，且F(1)=F(2)=0，由罗尔定理，存在η∈(1,2)使得F'(η)=0。
公式：罗尔定理
提示：罗尔定理的条件：闭区间连续，开区间可导，端点函数值相等。
步骤 3/4
目标：计算F'(x)并得到F'(1)=0
对F(x)求导得F'(x)=2(x-1)f(x)+(x-1)^2 f'(x)，代入x=1得F'(1)=0。
公式：F'(x)=2(x-1)f(x)+(x-1)^2 f'(x)
提示：注意乘积求导法则。
步骤 4/4
目标：再次应用罗尔定理得到存在ξ使F''(ξ)=0
由F'(1)=0和F'(η)=0，且F'(x)在[1,η]上连续可导，应用罗尔定理，存在ξ∈(1,η)⊂(1,2)使得F''(ξ)=0。
公式：罗尔定理
提示：注意ξ的范围是(1,2)。
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