同济高数 第3章 第3-1-9题
📝 题目
9．设 $a\gt b\gt 0, n\gt 1$ ，证明：$n b^{n-1}(a-b)\lt a^{n}-b^{n}\lt n a^{n-1}(a-b)$ ．
💡 答案解析
[AI解答]
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我们已知条件：$a > b > 0$，且 $n > 1$。 要证明： $$ n b^{n-1}(a-b) < a^{n} - b^{n} < n a^{n-1}(a-b). $$
**证明步骤：**
1. 考虑函数 $f(x) = x^{n}$，它在 $[b, a]$ 上连续，在 $(b, a)$ 内可导，因此由拉格朗日中值定理，存在 $\xi \in (b, a)$，使得 $$ f(a) - f(b) = f'(\xi)(a - b). $$ 即 $$ a^{n} - b^{n} = n \xi^{n-1} (a - b). $$
2. 因为 $n > 1$，函数 $g(x) = x^{n-1}$ 在 $x > 0$ 上是严格单调递增的，所以由 $b < \xi < a$ 可得： $$ b^{n-1} < \xi^{n-1} < a^{n-1}. $$
3. 将上述不等式乘以正数 $n(a-b)$（注意 $a-b > 0$），得到： $$ n b^{n-1}(a-b) < n \xi^{n-1}(a-b) < n a^{n-1}(a-b). $$
4. 而由第一步，$n \xi^{n-1}(a-b) = a^{n} - b^{n}$，因此： $$ n b^{n-1}(a-b) < a^{n} - b^{n} < n a^{n-1}(a-b). $$
证毕。
难度：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：应用拉格朗日中值定理
考虑函数 f(x)=x^n，在区间 [b,a] 上连续，在 (b,a) 内可导，由拉格朗日中值定理，存在 ξ∈(b,a) 使得 f(a)-f(b)=f'(ξ)(a-b)，即 a^n - b^n = n ξ^{n-1} (a-b)。
公式：a^n - b^n = n ξ^{n-1} (a-b)
提示：注意 f'(x)=n x^{n-1}。
步骤 2/4
目标：利用单调性比较大小
由于 n>1，函数 g(x)=x^{n-1} 在 x>0 上严格单调递增，由 b<ξ
公式：b^{n-1} < ξ^{n-1} < a^{n-1}
提示：指数函数单调性：当指数大于0时，底数越大函数值越大。
步骤 3/4
目标：乘以正数得到不等式
将不等式 b^{n-1} < ξ^{n-1} < a^{n-1} 两边乘以正数 n(a-b)（因为 a>b>0），得到 n b^{n-1}(a-b) < n ξ^{n-1}(a-b) < n a^{n-1}(a-b)。
公式：n b^{n-1}(a-b) < n ξ^{n-1}(a-b) < n a^{n-1}(a-b)
提示：乘以正数不等号方向不变。
步骤 4/4
目标：代入中值定理结果
由第一步知 n ξ^{n-1}(a-b) = a^n - b^n，代入上一步的不等式即得 n b^{n-1}(a-b) < a^n - b^n < n a^{n-1}(a-b)。
公式：n b^{n-1}(a-b) < a^n - b^n < n a^{n-1}(a-b)
提示：完成证明。
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