同济高数 第3章 第3-1-*13题

教材习题

📝 题目

＊13．设 $f(x), g(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，在 $(a, b)$ 内可导，证明在 $(a, b)$ 内有一点 $\xi$ ，使

$$ \left|\begin{array}{ll} f(a) & f(b) \\ g(a) & g(b) \end{array}\right|=(b-a)\left|\begin{array}{ll} f(a) & f^{\prime}(\xi) \\ g(a) & g^{\prime}(\xi) \end{array}\right| $$

💡 答案解析

[AI解答]

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**证明** 我们考虑构造辅助函数 $$ F(x) = \begin{vmatrix} f(a) & f(x) \\ g(a) & g(x) \end{vmatrix} = f(a)g(x) - g(a)f(x). $$ 显然，$F(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，在 $(a,b)$ 内可导，且 $$ F(a) = f(a)g(a) - g(a)f(a) = 0, $$ $$ F(b) = f(a)g(b) - g(a)f(b) = \begin{vmatrix} f(a) & f(b) \\ g(a) & g(b) \end{vmatrix}. $$

对 $F(x)$ 在区间 $[a,b]$ 上应用拉格朗日中值定理，存在 $\xi \in (a,b)$，使得 $$ F(b) - F(a) = F'(\xi)(b-a). $$ 由于 $F(a)=0$，因此 $$ F(b) = (b-a)F'(\xi). $$

计算导数： $$ F'(x) = f(a)g'(x) - g(a)f'(x) = \begin{vmatrix} f(a) & f'(x) \\ g(a) & g'(x) \end{vmatrix}. $$ 代入 $\xi$ 得 $$ F'(\xi) = \begin{vmatrix} f(a) & f'(\xi) \\ g(a) & g'(\xi) \end{vmatrix}. $$

于是 $$ \begin{vmatrix} f(a) & f(b) \\ g(a) & g(b) \end{vmatrix} = (b-a) \begin{vmatrix} f(a) & f'(\xi) \\ g(a) & g'(\xi) \end{vmatrix}, $$ 证毕。

难度：★★☆☆☆

📋 详细解题步骤

步骤 1/5
目标：构造辅助函数
定义辅助函数 F(x) = | f(a) f(x); g(a) g(x) | = f(a)g(x) - g(a)f(x)，该函数在 [a,b] 上连续，在 (a,b) 内可导。
公式：F(x) = f(a)g(x) - g(a)f(x)
提示：注意行列式的展开形式，将常数与变量分离。
步骤 2/5
目标：计算端点值
计算 F(a) 和 F(b)：F(a) = f(a)g(a) - g(a)f(a) = 0；F(b) = f(a)g(b) - g(a)f(b) = | f(a) f(b); g(a) g(b) |。
公式：F(a)=0, F(b)=| f(a) f(b); g(a) g(b) |
提示：F(b) 即为待证等式左边。
步骤 3/5
目标：应用拉格朗日中值定理
由拉格朗日中值定理，存在 ξ ∈ (a,b) 使得 F(b) - F(a) = F'(ξ)(b-a)。由于 F(a)=0，得 F(b) = (b-a)F'(ξ)。
公式：F(b) - F(a) = F'(ξ)(b-a)
提示：拉格朗日中值定理要求函数连续可导，F(x) 满足条件。
步骤 4/5
目标：计算导数
求导得 F'(x) = f(a)g'(x) - g(a)f'(x) = | f(a) f'(x); g(a) g'(x) |。代入 ξ 得 F'(ξ) = | f(a) f'(ξ); g(a) g'(ξ) |。
公式：F'(x) = | f(a) f'(x); g(a) g'(x) |
提示：注意 f(a), g(a) 是常数，求导时只对 x 的函数部分求导。
步骤 5/5
目标：代入结论
将 F(b) 和 F'(ξ) 代入 F(b) = (b-a)F'(ξ)，即得 | f(a) f(b); g(a) g(b) | = (b-a) | f(a) f'(ξ); g(a) g'(ξ) |。
公式：| f(a) f(b); g(a) g(b) | = (b-a) | f(a) f'(ξ); g(a) g'(ξ) |
提示：证毕。

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