同济高数 第3章 第3-3-1题
📝 题目
1．按 $x-4$ 的幂展开多项式 $f(x)=x^{4}-5 x^{3}+x^{2}-3 x+4$ ．
💡 答案解析
[AI解答]
[AI解答] 我们要求将多项式 $ f(x) = x^{4} - 5x^{3} + x^{2} - 3x + 4 $ 按 $ x-4 $ 的幂展开，即写成 $$ f(x) = a_0 + a_1 (x-4) + a_2 (x-4)^2 + a_3 (x-4)^3 + a_4 (x-4)^4 $$ 的形式。这等价于在 $ x=4 $ 处作泰勒展开，由于是多项式，展开有限项且精确。
**步骤1：计算各阶导数在 $ x=4 $ 处的值**
$$ f(x) = x^{4} - 5x^{3} + x^{2} - 3x + 4 $$ $$ f'(x) = 4x^{3} - 15x^{2} + 2x - 3 $$ $$ f''(x) = 12x^{2} - 30x + 2 $$ $$ f'''(x) = 24x - 30 $$ $$ f^{(4)}(x) = 24 $$
代入 $ x = 4 $：
$$ f(4) = 4^{4} - 5\cdot 4^{3} + 4^{2} - 3\cdot 4 + 4 = 256 - 320 + 16 - 12 + 4 = -56 $$ $$ f'(4) = 4\cdot 64 - 15\cdot 16 + 8 - 3 = 256 - 240 + 8 - 3 = 21 $$ $$ f''(4) = 12\cdot 16 - 30\cdot 4 + 2 = 192 - 120 + 2 = 74 $$ $$ f'''(4) = 24\cdot 4 - 30 = 96 - 30 = 66 $$ $$ f^{(4)}(4) = 24 $$
**步骤2：写出泰勒展开式**
泰勒公式为： $$ f(x) = \displaystyle\sum_{k=0}^{4} \frac{f^{(k)}(4)}{k!} (x-4)^k $$
代入数值：
$$ f(x) = (-56) + \frac{21}{1!}(x-4) + \frac{74}{2!}(x-4)^2 + \frac{66}{3!}(x-4)^3 + \frac{24}{4!}(x-4)^4 $$
化简系数：
$$ \frac{74}{2} = 37,\quad \frac{66}{6} = 11,\quad \frac{24}{24} = 1 $$
因此：
$$ \boxed{f(x) = -56 + 21(x-4) + 37(x-4)^2 + 11(x-4)^3 + (x-4)^4} $$
**难度评级**：★☆☆☆☆ （直接计算导数值代入泰勒公式即可，无复杂技巧。）