同济高数 第3章 第3-3-11题
📝 题目
11．若函数 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 内具有二阶导数，且 $f^{\prime \prime}(x)\gt 0$ ，又 $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{x}=1$ ，证明：$f(x) \geqslant x$ ， $x \in(-\infty,+\infty)$ ．
💡 答案解析
[AI解答]
[AI解答] **证明**： 由条件 $\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{f(x)}{x}=1$ 可知，当 $x\to 0$ 时，$f(x)\sim x$，且极限存在，故 $f(0)$ 必须为 0（否则极限会趋于无穷）。实际上，由极限存在且分母趋于 0，必有 $f(0)=0$。 于是 $$ \lim_{x\to 0}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=f'(0)=1. $$ 因此 $f(0)=0$，$f'(0)=1$。
已知 $f''(x)>0$，即 $f'(x)$ 严格单调递增。
考虑函数 $$ g(x)=f(x)-x. $$ 则 $$ g(0)=f(0)-0=0, $$ $$ g'(x)=f'(x)-1. $$ 由于 $f'(x)$ 严格递增且 $f'(0)=1$，因此： - 当 $x>0$ 时，$f'(x)>f'(0)=1$，故 $g'(x)>0$，$g(x)$ 严格递增，从而 $g(x)>g(0)=0$，即 $f(x)>x$； - 当 $x<0$ 时，$f'(x)
综上，对任意 $x\in(-\infty,+\infty)$，有 $f(x)\geqslant x$，等号仅在 $x=0$ 时成立。
**难度评级**：★★☆☆☆