同济高数 第3章 第3-5-7题
📝 题目
7．问函数 $y=2 x^{3}-6 x^{2}-18 x-7(1 \leqslant x \leqslant 4)$ 在何处取得最大值？并求出它的最大值．
💡 答案解析
[AI解答]
[AI解答] 我们要求函数 $$ y = 2x^{3} - 6x^{2} - 18x - 7 $$ 在闭区间 $[1, 4]$ 上的最大值及其取得的位置。
**第一步：求导数** $$ y' = \displaystyle{}\frac{dy}{dx} = 6x^{2} - 12x - 18 $$ 提取公因子： $$ y' = 6(x^{2} - 2x - 3) = 6(x - 3)(x + 1) $$
**第二步：求驻点** 令 $y' = 0$，得 $$ x = 3 \quad \text{或} \quad x = -1 $$ 由于定义域是 $[1,4]$，只有 $x = 3$ 在区间内。
**第三步：比较端点与驻点的函数值** 计算： - 当 $x = 1$： $$ y(1) = 2(1)^3 - 6(1)^2 - 18(1) - 7 = 2 - 6 - 18 - 7 = -29 $$ - 当 $x = 3$： $$ y(3) = 2(27) - 6(9) - 18(3) - 7 = 54 - 54 - 54 - 7 = -61 $$ - 当 $x = 4$： $$ y(4) = 2(64) - 6(16) - 18(4) - 7 = 128 - 96 - 72 - 7 = -47 $$
**第四步：确定最大值** 比较得： $$ \max\{-29, -61, -47\} = -29 $$ 在 $x = 1$ 处取得。
**答案**： 函数在 $x = 1$ 处取得最大值，最大值为 $-29$。
难度：★☆☆☆☆