同济高数 第3章 第3-5-8题

[AI解答]

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**（1）** 求函数 $y = x^{2} - \frac{54}{x}$，其中 $x < 0$ 的最小值。

首先求导： $$ y' = \displaystyle{}\frac{d}{dx}\left( x^{2} - 54 x^{-1} \right) = 2x + \frac{54}{x^{2}}. $$

令 $y' = 0$： $$ 2x + \frac{54}{x^{2}} = 0 \quad\Rightarrow\quad 2x = -\frac{54}{x^{2}} \quad\Rightarrow\quad 2x^{3} = -54 \quad\Rightarrow\quad x^{3} = -27. $$ 解得 $x = -3$（在定义域 $x<0$ 内）。

再求二阶导数： $$ y'' = 2 - \frac{108}{x^{3}}. $$ 代入 $x = -3$： $$ y''(-3) = 2 - \frac{108}{-27} = 2 + 4 = 6 > 0, $$ 所以 $x = -3$ 处取得极小值，也是最小值。

最小值为： $$ y(-3) = (-3)^{2} - \frac{54}{-3} = 9 + 18 = 27. $$

因此，函数在 $x = -3$ 处取得最小值 $27$。

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**（2）** 求函数 $y = \frac{x}{x^{2}+1}$，其中 $x \geq 0$ 的最大值。

求导（使用商法则）： $$ y' = \frac{(x^{2}+1)\cdot 1 - x\cdot 2x}{(x^{2}+1)^{2}} = \frac{x^{2}+1 - 2x^{2}}{(x^{2}+1)^{2}} = \frac{1 - x^{2}}{(x^{2}+1)^{2}}. $$

令 $y' = 0$： $$ 1 - x^{2} = 0 \quad\Rightarrow\quad x^{2} = 1 \quad\Rightarrow\quad x = 1 \quad (\text{取 } x \geq 0). $$

检查端点： 当 $x = 0$ 时，$y = 0$； 当 $x \to +\infty$ 时，$y \to 0$； 在 $x=1$ 处： $$ y(1) = \frac{1}{1+1} = \frac{1}{2}. $$

由于 $y'$ 在 $0 < x < 1$ 时为正，在 $x > 1$ 时为负，因此 $x=1$ 是极大值点，也是最大值点。

因此，函数在 $x = 1$ 处取得最大值 $\displaystyle{}\frac{1}{2}$。

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**难度评级**：★★☆☆☆