同济高数 第4章 第4-3-15题

[AI解答]

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我们要求不定积分： $$ \int x^{2} \cos^{2} \frac{x}{2} \, \mathrm{d}x $$

**第一步：利用三角恒等式降幂** 由半角公式： $$ \cos^{2} \frac{x}{2} = \frac{1 + \cos x}{2} $$ 因此原积分化为： $$ \int x^{2} \cdot \frac{1 + \cos x}{2} \, \mathrm{d}x = \frac{1}{2} \int x^{2} \, \mathrm{d}x + \frac{1}{2} \int x^{2} \cos x \, \mathrm{d}x $$

**第二步：分别计算两个积分** 第一个积分： $$ \frac{1}{2} \int x^{2} \, \mathrm{d}x = \frac{1}{2} \cdot \frac{x^{3}}{3} = \frac{x^{3}}{6} $$

第二个积分使用分部积分法。设： $$ I = \int x^{2} \cos x \, \mathrm{d}x $$ 令 $ u = x^{2} $，$\mathrm{d}v = \cos x \, \mathrm{d}x$，则 $\mathrm{d}u = 2x \, \mathrm{d}x$，$v = \sin x$。 分部积分： $$ I = x^{2} \sin x - \int 2x \sin x \, \mathrm{d}x $$

再对 $\int x \sin x \, \mathrm{d}x$ 分部积分： 令 $ u = x $，$\mathrm{d}v = \sin x \, \mathrm{d}x$，则 $\mathrm{d}u = \mathrm{d}x$，$v = -\cos x$， 所以： $$ \int x \sin x \, \mathrm{d}x = -x \cos x + \int \cos x \, \mathrm{d}x = -x \cos x + \sin x $$

于是： $$ I = x^{2} \sin x - 2\left( -x \cos x + \sin x \right) = x^{2} \sin x + 2x \cos x - 2 \sin x $$

**第三步：合并结果** 原积分为： $$ \frac{x^{3}}{6} + \frac{1}{2} \left( x^{2} \sin x + 2x \cos x - 2 \sin x \right) + C $$ 整理得： $$ \frac{x^{3}}{6} + \frac{x^{2}}{2} \sin x + x \cos x - \sin x + C $$

因此最终结果为： $$ \boxed{\displaystyle \frac{x^{3}}{6} + \frac{x^{2}}{2} \sin x + x \cos x - \sin x + C} $$

难度：★★☆☆☆