同济高数 第4章 第4-3-16题
📝 题目
16． $\displaystyle{\int} x \ln (x-1) \mathrm{d} x$ ．
💡 答案解析
[AI解答]
[AI解答] 我们要求解不定积分： $$ \int x \ln(x-1) \, \mathrm{d}x $$
**步骤1：使用分部积分法** 令 $$ u = \ln(x-1), \quad \mathrm{d}v = x \, \mathrm{d}x $$ 则 $$ \mathrm{d}u = \frac{1}{x-1} \, \mathrm{d}x, \quad v = \frac{x^2}{2} $$
分部积分公式： $$ \int u \, \mathrm{d}v = uv - \int v \, \mathrm{d}u $$ 代入得： $$ \int x \ln(x-1) \, \mathrm{d}x = \frac{x^2}{2} \ln(x-1) - \int \frac{x^2}{2} \cdot \frac{1}{x-1} \, \mathrm{d}x $$
**步骤2：化简剩余积分** 计算 $$ \int \frac{x^2}{x-1} \, \mathrm{d}x $$ 将分子除以分母： $$ \frac{x^2}{x-1} = x + 1 + \frac{1}{x-1} $$ 因此 $$ \int \frac{x^2}{x-1} \, \mathrm{d}x = \int \left( x + 1 + \frac{1}{x-1} \right) \mathrm{d}x = \frac{x^2}{2} + x + \ln|x-1| + C $$
**步骤3：代回原式** 原积分 = $$ \frac{x^2}{2} \ln(x-1) - \frac{1}{2} \left( \frac{x^2}{2} + x + \ln|x-1| \right) + C $$ 整理得： $$ = \frac{x^2}{2} \ln(x-1) - \frac{x^2}{4} - \frac{x}{2} - \frac{1}{2} \ln|x-1| + C $$ 合并对数项： $$ = \frac{1}{2}(x^2 - 1) \ln|x-1| - \frac{x^2}{4} - \frac{x}{2} + C $$
**最终结果**： $$ \boxed{\displaystyle \frac{1}{2}(x^2 - 1) \ln|x-1| - \frac{x^2}{4} - \frac{x}{2} + C} $$
难度评级：★★☆☆☆ （只需一次分部积分与多项式除法，计算量较小，但需注意对数定义域）