同济高数 第4章 第4-4-7题

[AI解答]

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我们要求解不定积分： $$ \displaystyle{\int} \frac{x}{(x+1)(x+2)(x+3)} \, \mathrm{d}x $$

**第一步：有理函数分解** 被积函数为真分式，可分解为部分分式： $$ \frac{x}{(x+1)(x+2)(x+3)} = \frac{A}{x+1} + \frac{B}{x+2} + \frac{C}{x+3} $$ 两边乘以分母得： $$ x = A(x+2)(x+3) + B(x+1)(x+3) + C(x+1)(x+2) $$

**第二步：求系数** 分别代入特殊值：

令 $x = -1$： $$ -1 = A(1)(2) \quad\Rightarrow\quad A = -\frac{1}{2} $$

令 $x = -2$： $$ -2 = B(-1)(1) \quad\Rightarrow\quad B = 2 $$

令 $x = -3$： $$ -3 = C(-2)(-1) \quad\Rightarrow\quad C = -\frac{3}{2} $$

因此： $$ \frac{x}{(x+1)(x+2)(x+3)} = -\frac{1/2}{x+1} + \frac{2}{x+2} - \frac{3/2}{x+3} $$

**第三步：逐项积分** $$ \begin{aligned} \displaystyle{\int} \frac{x}{(x+1)(x+2)(x+3)} \, \mathrm{d}x &= -\frac{1}{2} \int \frac{1}{x+1} \, \mathrm{d}x + 2 \int \frac{1}{x+2} \, \mathrm{d}x - \frac{3}{2} \int \frac{1}{x+3} \, \mathrm{d}x \$$4pt] &= -\frac{1}{2} \ln|x+1| + 2 \ln|x+2| - \frac{3}{2} \ln|x+3| + C \end{aligned} $$

**最终结果**： $$ \boxed{-\frac{1}{2}\ln|x+1| + 2\ln|x+2| - \frac{3}{2}\ln|x+3| + C} $$

难度：★☆☆☆☆ （仅需部分分式分解与基本积分公式，步骤固定，计算简单）