同济高数 第4章 第4-4-8题
📝 题目
8． $\displaystyle{\int} \frac{x^{5}+x^{4}-8}{x^{3}-x} \mathrm{~d} x$ ．
💡 答案解析
[AI解答]
[AI解答] 我们要求解不定积分： $$ \displaystyle{\int} \frac{x^{5}+x^{4}-8}{x^{3}-x} \mathrm{~d} x $$
**第一步：化简被积函数** 分母 $x^3 - x = x(x-1)(x+1)$。分子次数高于分母，先做多项式除法。 计算： $$ \frac{x^{5}+x^{4}-8}{x^{3}-x} $$ 用多项式除法： $x^5 \div x^3 = x^2$，乘回得 $x^5 - x^3$，减去得 $x^4 + x^3 - 8$。 再 $x^4 \div x^3 = x$，乘回得 $x^4 - x^2$，减去得 $x^3 + x^2 - 8$。 再 $x^3 \div x^3 = 1$，乘回得 $x^3 - x$，减去得 $x^2 + x - 8$。 所以： $$ \frac{x^{5}+x^{4}-8}{x^{3}-x} = x^2 + x + 1 + \frac{x^2 + x - 8}{x^3 - x} $$
**第二步：分解余项为部分分式** 设 $$ \frac{x^2 + x - 8}{x(x-1)(x+1)} = \frac{A}{x} + \frac{B}{x-1} + \frac{C}{x+1} $$ 两边乘以分母得： $$ x^2 + x - 8 = A(x-1)(x+1) + B x (x+1) + C x (x-1) $$ 分别代入特殊值： 令 $x=0$：$-8 = A(-1)(1) = -A \Rightarrow A = 8$ 令 $x=1$：$1+1-8 = -6 = B(1)(2) = 2B \Rightarrow B = -3$ 令 $x=-1$：$1 -1 -8 = -8 = C(-1)(-2) = 2C \Rightarrow C = -4$
因此： $$ \frac{x^2+x-8}{x^3-x} = \frac{8}{x} - \frac{3}{x-1} - \frac{4}{x+1} $$
**第三步：积分** 原积分化为： $$ \int (x^2 + x + 1) \, dx + \int \frac{8}{x} \, dx - \int \frac{3}{x-1} \, dx - \int \frac{4}{x+1} \, dx $$ 分别积分： $$ \int x^2 \, dx = \frac{x^3}{3},\quad \int x \, dx = \frac{x^2}{2},\quad \int 1 \, dx = x $$ $$ \int \frac{8}{x} \, dx = 8\ln|x|,\quad \int \frac{3}{x-1} \, dx = 3\ln|x-1|,\quad \int \frac{4}{x+1} \, dx = 4\ln|x+1| $$ 合并得： $$ \frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2} + x + 8\ln|x| - 3\ln|x-1| - 4\ln|x+1| + C $$
**最终结果**： $$ \boxed{\displaystyle{\frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2} + x + 8\ln|x| - 3\ln|x-1| - 4\ln|x+1| + C}} $$
难度评级：★★☆☆☆ （涉及多项式除法与部分分式分解，计算量中等，但思路常规）