同济高数 第4章 第4-4-9题

[AI解答]

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我们要求解不定积分： $$ \displaystyle{\int} \frac{\mathrm{d} x}{\left(x^{2}+1\right)\left(x^{2}+x\right)}. $$

**第一步：分解分母** 注意到分母可以因式分解： $$ x^{2}+x = x(x+1), $$ 所以被积函数为： $$ \frac{1}{(x^{2}+1)(x^{2}+x)} = \frac{1}{x(x+1)(x^{2}+1)}. $$

**第二步：部分分式分解** 设： $$ \frac{1}{x(x+1)(x^{2}+1)} = \frac{A}{x} + \frac{B}{x+1} + \frac{Cx+D}{x^{2}+1}. $$ 两边乘以分母 $x(x+1)(x^{2}+1)$ 得： $$ 1 = A(x+1)(x^{2}+1) + B x (x^{2}+1) + (Cx+D) x (x+1). $$

**第三步：求系数** 先令 $x=0$，得： $$ 1 = A(1)(1) \quad\Rightarrow\quad A = 1. $$ 令 $x=-1$，得： $$ 1 = B(-1)(1+1) = -2B \quad\Rightarrow\quad B = -\frac{1}{2}. $$

展开比较系数： 将 $A=1, B=-\frac12$ 代入，展开右边： $$ (x+1)(x^{2}+1) = x^{3}+x^{2}+x+1, $$ $$ -\frac12 x (x^{2}+1) = -\frac12 x^{3} -\frac12 x, $$ $$ (Cx+D)x(x+1) = (Cx+D)(x^{2}+x) = Cx^{3}+Cx^{2}+Dx^{2}+Dx. $$

合并同类项： - $x^{3}$ 项：$1 -\frac12 + C = \frac12 + C$， - $x^{2}$ 项：$1 + 0 + (C+D) = 1 + C + D$， - $x^{1}$ 项：$1 -\frac12 + D = \frac12 + D$， - 常数项：$1$。

右边等于左边 $1$，所以： $$ \frac12 + C = 0 \quad\Rightarrow\quad C = -\frac12, $$ $$ 1 + C + D = 0 \quad\Rightarrow\quad 1 -\frac12 + D = 0 \quad\Rightarrow\quad D = -\frac12, $$ $$ \frac12 + D = 0 \quad\Rightarrow\quad \frac12 -\frac12 = 0 \quad\text{（自动成立）}. $$

因此： $$ \frac{1}{x(x+1)(x^{2}+1)} = \frac{1}{x} - \frac{1}{2(x+1)} + \frac{-\frac12 x - \frac12}{x^{2}+1}. $$

**第四步：化简第三项** $$ \frac{-\frac12 x - \frac12}{x^{2}+1} = -\frac12 \cdot \frac{x+1}{x^{2}+1}. $$ 所以： $$ \int \frac{dx}{(x^{2}+1)(x^{2}+x)} = \int \frac{dx}{x} - \frac12 \int \frac{dx}{x+1} - \frac12 \int \frac{x+1}{x^{2}+1} \, dx. $$

**第五步：分别积分** 前两项： $$ \int \frac{dx}{x} = \ln|x|, \quad \int \frac{dx}{x+1} = \ln|x+1|. $$

第三项拆开： $$ \int \frac{x+1}{x^{2}+1} dx = \int \frac{x}{x^{2}+1} dx + \int \frac{1}{x^{2}+1} dx. $$ 其中： $$ \int \frac{x}{x^{2}+1} dx = \frac12 \ln(x^{2}+1), $$ $$ \int \frac{1}{x^{2}+1} dx = \arctan x. $$

**第六步：合并结果** 因此： $$ \int \frac{dx}{(x^{2}+1)(x^{2}+x)} = \ln|x| - \frac12 \ln|x+1| - \frac12 \left( \frac12 \ln(x^{2}+1) + \arctan x \right) + C. $$ 即： $$ = \ln|x| - \frac12 \ln|x+1| - \frac14 \ln(x^{2}+1) - \frac12 \arctan x + C. $$

最终答案： $$ \boxed{\displaystyle \ln|x| - \frac12 \ln|x+1| - \frac14 \ln(x^{2}+1) - \frac12 \arctan x + C}. $$

难度：★★☆☆☆