同济高数 第4章 第4-5-13题
📝 题目
13． $\displaystyle{\int} \frac{1}{x^{2}(1-x)} \mathrm{d} x$ ．
💡 答案解析
[AI解答]
[AI解答] 我们要求解不定积分：
$$ \int \frac{1}{x^{2}(1-x)} \, \mathrm{d}x $$
**第一步：化为部分分式** 被积函数是有理函数，分母为 $x^2(1-x)$，可设：
$$ \frac{1}{x^{2}(1-x)} = \frac{A}{x} + \frac{B}{x^{2}} + \frac{C}{1-x} $$
两边乘以 $x^{2}(1-x)$ 得：
$$ 1 = A x (1-x) + B (1-x) + C x^{2} $$
整理：
$$ 1 = A x - A x^{2} + B - B x + C x^{2} $$ $$ 1 = (-A + C) x^{2} + (A - B) x + B $$
比较系数：
- 常数项： $B = 1$ - $x$ 项系数： $A - B = 0 \Rightarrow A = 1$ - $x^{2}$ 项系数： $-A + C = 0 \Rightarrow C = 1$
因此：
$$ \frac{1}{x^{2}(1-x)} = \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{1-x} $$
**第二步：逐项积分**
$$ \int \frac{1}{x^{2}(1-x)} \, \mathrm{d}x = \int \frac{1}{x} \, \mathrm{d}x + \int \frac{1}{x^{2}} \, \mathrm{d}x + \int \frac{1}{1-x} \, \mathrm{d}x $$
分别计算：
$$ \int \frac{1}{x} \, \mathrm{d}x = \ln|x| $$ $$ \int \frac{1}{x^{2}} \, \mathrm{d}x = \int x^{-2} \, \mathrm{d}x = -x^{-1} = -\frac{1}{x} $$ $$ \int \frac{1}{1-x} \, \mathrm{d}x = -\ln|1-x| $$
**第三步：合并结果**
$$ \int \frac{1}{x^{2}(1-x)} \, \mathrm{d}x = \ln|x| - \frac{1}{x} - \ln|1-x| + C $$
也可以写成：
$$ \boxed{\ln\left|\frac{x}{1-x}\right| - \frac{1}{x} + C} $$
难度：★☆☆☆☆（只需部分分式分解与基本积分公式，步骤清晰，计算简单）