同济高数 第4章 第4-5-14题

教材习题

📝 题目

14． $\displaystyle{\int} \frac{\sqrt{x-1}}{x} \mathrm{~d} x$ ．

💡 答案解析

[AI解答]

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我们要求解不定积分： $$ \int \frac{\sqrt{x-1}}{x} \, dx $$

**步骤1：换元** 令 $ t = \sqrt{x-1} $，则 $ t \ge 0 $，并且 $$ t^2 = x - 1 \quad\Rightarrow\quad x = t^2 + 1 $$ 两边微分： $$ dx = 2t \, dt $$

**步骤2：代入积分** 原积分变为： $$ \int \frac{t}{t^2 + 1} \cdot 2t \, dt = 2 \int \frac{t^2}{t^2 + 1} \, dt $$

**步骤3：化简被积函数** 因为 $$ \frac{t^2}{t^2+1} = 1 - \frac{1}{t^2+1} $$ 所以： $$ 2 \int \left(1 - \frac{1}{t^2+1}\right) dt = 2 \left( \int 1 \, dt - \int \frac{1}{t^2+1} \, dt \right) $$

**步骤4：积分计算** $$ \int 1 \, dt = t,\quad \int \frac{1}{t^2+1} \, dt = \arctan t $$ 因此： $$ 2 \left( t - \arctan t \right) + C $$

**步骤5：回代变量** 由 $ t = \sqrt{x-1} $，得： $$ \int \frac{\sqrt{x-1}}{x} \, dx = 2\sqrt{x-1} - 2\arctan\sqrt{x-1} + C $$

最终结果为： $$ \boxed{2\sqrt{x-1} - 2\arctan\sqrt{x-1} + C} $$

难度：★☆☆☆☆ （属于基础换元积分，步骤简单直接）

📋 详细解题步骤

步骤 1/5
目标：换元简化根式
令 t = √(x-1)，则 t ≥ 0，且 x = t^2 + 1，dx = 2t dt。
公式：t = √(x-1), x = t^2 + 1, dx = 2t dt
提示：当被积函数含有根式 √(ax+b) 时，常令该根式为 t。
步骤 2/5
目标：代入积分并化简
原积分变为 ∫ (t/(t^2+1)) * 2t dt = 2 ∫ t^2/(t^2+1) dt。
公式：∫ (√(x-1)/x) dx = 2 ∫ t^2/(t^2+1) dt
提示：注意将 x 用 t 表示，并正确代入 dx。
步骤 3/5
目标：化简被积函数
因为 t^2/(t^2+1) = 1 - 1/(t^2+1)，所以积分化为 2 ∫ (1 - 1/(t^2+1)) dt。
公式：t^2/(t^2+1) = 1 - 1/(t^2+1)
提示：通过分子加1减1进行拆分。
步骤 4/5
目标：积分计算
∫ 1 dt = t，∫ 1/(t^2+1) dt = arctan t，因此 2(t - arctan t) + C。
公式：∫ 1 dt = t, ∫ 1/(t^2+1) dt = arctan t
提示：基本积分公式要熟记。
步骤 5/5
目标：回代变量
将 t = √(x-1) 代回，得 2√(x-1) - 2 arctan √(x-1) + C。
公式：2√(x-1) - 2 arctan √(x-1) + C
提示：不要忘记常数 C。

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