同济高数 第4章 第4-5-15题

[AI解答]

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我们要求解不定积分： $$ \int \frac{1}{(1+x^2)^2} \, dx $$

**步骤1：使用三角代换** 令 $x = \tan t$，则 $dx = \sec^2 t \, dt$，且 $1+x^2 = 1+\tan^2 t = \sec^2 t$。 于是： $$ \int \frac{1}{(1+x^2)^2} \, dx = \int \frac{1}{(\sec^2 t)^2} \cdot \sec^2 t \, dt = \int \frac{1}{\sec^2 t} \, dt = \int \cos^2 t \, dt $$

**步骤2：降幂处理** 利用恒等式 $\cos^2 t = \frac{1+\cos 2t}{2}$，得： $$ \int \cos^2 t \, dt = \int \frac{1+\cos 2t}{2} \, dt = \frac{1}{2} \int dt + \frac{1}{2} \int \cos 2t \, dt = \frac{t}{2} + \frac{1}{4} \sin 2t + C $$

**步骤3：回代到 $x$** 由 $x = \tan t$，得 $t = \arctan x$。 又 $\sin 2t = 2 \sin t \cos t$，而： $$ \sin t = \frac{x}{\sqrt{1+x^2}}, \quad \cos t = \frac{1}{\sqrt{1+x^2}} $$ 所以： $$ \sin 2t = 2 \cdot \frac{x}{\sqrt{1+x^2}} \cdot \frac{1}{\sqrt{1+x^2}} = \frac{2x}{1+x^2} $$

**步骤4：写出最终结果** 代入得： $$ \int \frac{1}{(1+x^2)^2} \, dx = \frac{1}{2} \arctan x + \frac{1}{4} \cdot \frac{2x}{1+x^2} + C = \frac{1}{2} \arctan x + \frac{x}{2(1+x^2)} + C $$

因此： $$ \boxed{\displaystyle \frac{1}{2}\arctan x + \frac{x}{2(1+x^2)} + C} $$

难度：★★☆☆☆