同济高数 第4章 第4-5-19题

教材习题

📝 题目

19． $\displaystyle{\int} x^{2} \sqrt{x^{2}-2} \mathrm{~d} x$ ．

💡 答案解析

[AI解答]

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我们要求不定积分： $$ \int x^{2} \sqrt{x^{2}-2} \, \mathrm{d}x $$

**步骤1：三角代换** 因为根号内有 $x^2 - 2$，考虑代换 $$ x = \sqrt{2} \sec t, \quad \mathrm{d}x = \sqrt{2} \sec t \tan t \, \mathrm{d}t $$ 且 $$ \sqrt{x^2 - 2} = \sqrt{2 \sec^2 t - 2} = \sqrt{2(\sec^2 t - 1)} = \sqrt{2 \tan^2 t} = \sqrt{2} |\tan t| $$ 在 $\displaystyle t \in (0, \frac{\pi}{2})$ 时 $\tan t > 0$，可去掉绝对值。

**步骤2：代入化简** 于是积分变为： $$ \int (\sqrt{2} \sec t)^2 \cdot \sqrt{2} \tan t \cdot \sqrt{2} \sec t \tan t \, \mathrm{d}t $$ 先计算系数： $x^2 = 2 \sec^2 t$， $\sqrt{x^2-2} = \sqrt{2} \tan t$， $\mathrm{d}x = \sqrt{2} \sec t \tan t \, \mathrm{d}t$。

乘积为： $$ 2 \sec^2 t \cdot \sqrt{2} \tan t \cdot \sqrt{2} \sec t \tan t = 2 \cdot 2 \cdot \sec^3 t \tan^2 t $$ 因为 $\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = 2$，所以系数是 $2 \times 2 = 4$，即： $$ \int 4 \sec^3 t \tan^2 t \, \mathrm{d}t $$

**步骤3：化简三角函数** 利用 $\tan^2 t = \sec^2 t - 1$，得： $$ 4 \int \sec^3 t (\sec^2 t - 1) \, \mathrm{d}t = 4 \int (\sec^5 t - \sec^3 t) \, \mathrm{d}t $$

**步骤4：计算 $\int \sec^3 t \, \mathrm{d}t$ 和 $\int \sec^5 t \, \mathrm{d}t$** 常用递推公式： 对于 $n \ge 3$， $$ \int \sec^n t \, \mathrm{d}t = \frac{\sec^{n-2} t \tan t}{n-1} + \frac{n-2}{n-1} \int \sec^{n-2} t \, \mathrm{d}t $$

先求 $\int \sec^3 t \, \mathrm{d}t$： 取 $n=3$： $$ \int \sec^3 t \, \mathrm{d}t = \frac{\sec t \tan t}{2} + \frac{1}{2} \int \sec t \, \mathrm{d}t $$ 而 $\int \sec t \, \mathrm{d}t = \ln|\sec t + \tan t| + C$，所以： $$ \int \sec^3 t \, \mathrm{d}t = \frac{1}{2} \sec t \tan t + \frac{1}{2} \ln|\sec t + \tan t| + C $$

再求 $\int \sec^5 t \, \mathrm{d}t$： 取 $n=5$： $$ \int \sec^5 t \, \mathrm{d}t = \frac{\sec^3 t \tan t}{4} + \frac{3}{4} \int \sec^3 t \, \mathrm{d}t $$ 代入 $\int \sec^3 t$ 的结果： $$ \int \sec^5 t \, \mathrm{d}t = \frac{\sec^3 t \tan t}{4} + \frac{3}{4} \left( \frac{1}{2} \sec t \tan t + \frac{1}{2} \ln|\sec t + \tan t| \right) $$ 即： $$ \int \sec^5 t \, \mathrm{d}t = \frac{1}{4} \sec^3 t \tan t + \frac{3}{8} \sec t \tan t + \frac{3}{8} \ln|\sec t + \tan t| + C $$

**步骤5：组合结果** 原积分为： $$ 4 \left( \int \sec^5 t \, \mathrm{d}t - \int \sec^3 t \, \mathrm{d}t \right) $$ 代入： $$ 4 \left[ \left( \frac{1}{4} \sec^3 t \tan t + \frac{3}{8} \sec t \tan t + \frac{3}{8} \ln|\sec t + \tan t| \right) - \left( \frac{1}{2} \sec t \tan t + \frac{1}{2} \ln|\sec t + \tan t| \right) \right] $$ 合并同类项： $\sec^3 t \tan t$ 项系数：$\displaystyle 4 \cdot \frac{1}{4} = 1$ $\sec t \tan t$ 项：$\displaystyle 4 \left( \frac{3}{8} - \frac{1}{2} \right) = 4 \left( \frac{3}{8} - \frac{4}{8} \right) = 4 \cdot \left( -\frac{1}{8} \right) = -\frac{1}{2}$ 对数项：$\displaystyle 4 \left( \frac{3}{8} - \frac{1}{2} \right) = -\frac{1}{2} \ln|\sec t + \tan t|$

所以： $$ \int x^2 \sqrt{x^2-2} \, \mathrm{d}x = \sec^3 t \tan t - \frac{1}{2} \sec t \tan t - \frac{1}{2} \ln|\sec t + \tan t| + C $$

**步骤6：回代 $x$** 由 $x = \sqrt{2} \sec t$，得 $\displaystyle \sec t = \frac{x}{\sqrt{2}}$， $\displaystyle \tan t = \sqrt{\sec^2 t - 1} = \sqrt{\frac{x^2}{2} - 1} = \frac{\sqrt{x^2-2}}{\sqrt{2}}$。

于是： $$ \sec^3 t \tan t = \left( \frac{x}{\sqrt{2}} \right)^3 \cdot \frac{\sqrt{x^2-2}}{\sqrt{2}} = \frac{x^3}{2\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{x^2-2}}{\sqrt{2}}? $$ 仔细计算： $\displaystyle \sec^3 t = \frac{x^3}{(\sqrt{2})^3} = \frac{x^3}{2\sqrt{2}}$，乘以 $\displaystyle \tan t = \frac{\sqrt{x^2-2}}{\sqrt{2}}$，得： $$ \frac{x^3}{2\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{x^2-2}}{\sqrt{2}} = \frac{x^3 \sqrt{x^2-2}}{4} $$ 因为 $2\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = 2 \cdot 2 = 4$。

下一项：$\displaystyle \sec t \tan t = \frac{x}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{x^2-2}}{\sqrt{2}} = \frac{x \sqrt{x^2-2}}{2}$。

所以： $$ \sec^3 t \tan t - \frac{1}{2} \sec t \tan t = \frac{x^3 \sqrt{x^2-2}}{4} - \frac{1}{2} \cdot \frac{x \sqrt{x^2-2}}{2} = \frac{x^3 \sqrt{x^2-2}}{4} - \frac{x \sqrt{x^2-2}}{4} $$ 合并为： $$ \frac{\sqrt{x^2-2}}{4} (x^3 - x) = \frac{x(x^2-1)\sqrt{x^2-2}}{4} $$

而对数部分： $\displaystyle \sec t + \tan t = \frac{x}{\sqrt{2}} + \frac{\sqrt{x^2-2}}{\sqrt{2}} = \frac{x + \sqrt{x^2-2}}{\sqrt{2}}$， 所以： $$ \ln|\sec t + \tan t| = \ln\left| \frac{x + \sqrt{x^2-2}}{\sqrt{2}} \right| = \ln|x + \sqrt{x^2-2}| - \ln\sqrt{2} $$ 常数 $\displaystyle -\frac{1}{2}\ln\sqrt{2}$ 可并入常数 $C$。

因此最终结果为： $$ \boxed{\displaystyle \frac{x(x^2-1)\sqrt

📋 详细解题步骤

步骤 1/7
目标：进行三角代换
令 x = √2 sec t，则 dx = √2 sec t tan t dt，且 √(x²-2) = √2 tan t（t∈(0,π/2)时tan t>0）。
公式：x = √2 sec t, dx = √2 sec t tan t dt, √(x²-2) = √2 tan t
提示：当被积函数含√(x²-a²)时，常用sec代换。
步骤 2/7
目标：代入化简积分
代入得 ∫ x²√(x²-2) dx = ∫ (2 sec² t)(√2 tan t)(√2 sec t tan t) dt = ∫ 4 sec³ t tan² t dt。
公式：∫ 4 sec³ t tan² t dt
提示：注意系数计算：2 * √2 * √2 = 4。
步骤 3/7
目标：化简三角函数
利用 tan² t = sec² t - 1，得 4∫ sec³ t (sec² t - 1) dt = 4∫ (sec⁵ t - sec³ t) dt。
公式：tan² t = sec² t - 1
步骤 4/7
目标：计算 ∫ sec³ t dt
利用递推公式：∫ sec³ t dt = (1/2) sec t tan t + (1/2) ln|sec t + tan t| + C。
公式：∫ sec³ t dt = (1/2) sec t tan t + (1/2) ln|sec t + tan t| + C
提示：递推公式：∫ secⁿ t dt = (secⁿ⁻² t tan t)/(n-1) + (n-2)/(n-1)∫ secⁿ⁻² t dt。
步骤 5/7
目标：计算 ∫ sec⁵ t dt
利用递推公式：∫ sec⁵ t dt = (1/4) sec³ t tan t + (3/8) sec t tan t + (3/8) ln|sec t + tan t| + C。
公式：∫ sec⁵ t dt = (1/4) sec³ t tan t + (3/8) sec t tan t + (3/8) ln|sec t + tan t| + C
步骤 6/7
目标：组合结果
原积分 = 4(∫ sec⁵ t dt - ∫ sec³ t dt) = sec³ t tan t - (1/2) sec t tan t - (1/2) ln|sec t + tan t| + C。
公式：原积分 = sec³ t tan t - (1/2) sec t tan t - (1/2) ln|sec t + tan t| + C
提示：合并同类项时注意系数。
步骤 7/7
目标：回代变量
由 x = √2 sec t，得 sec t = x/√2，tan t = √(x²-2)/√2。代入得：sec³ t tan t = x³√(x²-2)/4，sec t tan t = x√(x²-2)/2，ln|sec t + tan t| = ln|x + √(x²-2)| - ln√2。最终结果为 (x(x²-1)√(x²-2))/4 - (1/2) ln|x + √(x²-2)| + C。
公式：∫ x²√(x²-2) dx = (x(x²-1)√(x²-2))/4 - (1/2) ln|x + √(x²-2)| + C
提示：常数 - (1/2) ln√2 可并入常数C。

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