同济高数 第4章 第4-5-2题
📝 题目
2． $\displaystyle{\int} \frac{1}{x^{2}+2 x+5} \mathrm{~d} x$ ．
💡 答案解析
[AI解答]
[AI解答] 我们要求解不定积分： $$ \displaystyle{\int} \frac{1}{x^{2}+2x+5} \, \mathrm{d}x $$
**第一步：对分母配方** $$ x^{2}+2x+5 = (x^{2}+2x+1) + 4 = (x+1)^{2} + 2^{2} $$
**第二步：化为标准形式** 积分变为： $$ \displaystyle{\int} \frac{1}{(x+1)^{2} + 2^{2}} \, \mathrm{d}x $$
**第三步：使用基本积分公式** 我们知道： $$ \displaystyle{\int} \frac{1}{u^{2}+a^{2}} \, \mathrm{d}u = \frac{1}{a} \arctan\frac{u}{a} + C $$ 这里令 $u = x+1$，$a = 2$，则 $\mathrm{d}u = \mathrm{d}x$，于是： $$ \displaystyle{\int} \frac{1}{(x+1)^{2}+2^{2}} \, \mathrm{d}x = \frac{1}{2} \arctan\frac{x+1}{2} + C $$
**最终结果**： $$ \boxed{\displaystyle \frac{1}{2} \arctan\frac{x+1}{2} + C} $$
难度评级：★☆☆☆☆ （仅需配方并套用反正切积分公式，属于基础题）
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：对分母配方
将分母 x^2+2x+5 配方为 (x+1)^2 + 4，即 (x+1)^2 + 2^2。
公式：x^2+2x+5 = (x+1)^2 + 2^2
提示：配方时注意一次项系数的一半平方。
步骤 2/3
目标：化为标准形式
积分变为 ∫ 1/[(x+1)^2 + 2^2] dx。
公式：∫ 1/(u^2+a^2) du = (1/a) arctan(u/a) + C
提示：识别出 u = x+1, a = 2。
步骤 3/3
目标：应用基本积分公式
令 u = x+1, du = dx, a = 2，代入公式得 (1/2) arctan((x+1)/2) + C。
公式：∫ 1/(u^2+a^2) du = (1/a) arctan(u/a) + C
提示：注意不要遗漏常数 C。
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